河南省九师联盟2018～2019学年高三1月质量检测
数学（理科）
一、选择题 1.若集合A＝{x|x2＜2 ，B＝{x|}，则A∩B＝( )
A. （0，2） B. （，0） C. （0，） D. （－2，0）
【答案】B 【解析】 【分析】
解出集合A，B，根据集合的交集运算得到结果即可. 【详解】集合A＝{x|x2
＜2 , B＝{x|}
A∩B＝（
，0）。
故答案为：B.
【点睛】这个题目考查了集合的交集运算，题目较为简单. 2.已知复数z＝i（2＋3i）（i为虚数单位），则( )
A. B.
C.
D.
【答案】B 【解析】 【分析】
根据复数的除法运算和乘法运算法则计算即可. 【详解】复数z＝i（2＋3i）=则
.
故答案为：B.
【点睛】这个题目考查了复数的四则运算，题目简单. 3.命题“
，5－3x0≥0”的否定是( )
A. 不存在x0∈R，5－3x0＜0 B.
，5－3x0＜0 C.
，5－3x≤0 D.
，5－3x＜0 【答案】D 【解析】
- 1 -
【分析】
根据特称命题的否定的书写规则写出即可.
【详解】题干中的是特称命题，它的否定是全称命题，换量词，否结论，条件不变即可，即：
，5－3x＜0. 故答案为：D.
【点睛】这个题目考查的是特称命题的否定的写法，满足全称命题，换量词，否结论，条件不变，这一规律.
4.已知直线x－ay＝0与圆x2＋（y＋4）2＝9相切，则实数a＝( ) A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】 【分析】
直线和圆相切即圆心到直线的距离等于半径，根据点到直线的距离公式得到方程，求解即可. 【详解】直线x－ay＝0与圆x2＋（y＋4）2＝9相切，即圆心（0，-4）到直线的距离等于半径，根据点到直线的距离公式得到故答案为：C.
【点睛】这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理.
5.某单位为了制定节能减排的目标，调查了日用电量y（单位：千瓦时）与当天平均气温x（单位：℃），从中随机选取了4天的日用电量与当天平均气温，并制作了对照表： x y
由表中数据的线性回归方程为A. 42 B. 40 C. 38 D. 36
，则a的值为( )
17 24 15 34 10 a －2 64 化简得到a=
.
- 2 -
【答案】C 【解析】 【分析】
由公式计算得到样本中心的坐标，代入方程可得到参数值.
【详解】回归直线过样本中心，样本中心坐标为
,
故答案为：C.
【点睛】这个题目考查了回归直线方程的应用，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点． 6.在△ABC中，
，b＝2，其面积为
，则
等于( )
,代入方程得到：a=38.
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】
先由面积公式得到c=4,再由余弦定理得到a边长度，最终由正弦定理得到结果. 【详解】△ABC中，由余弦定理得到
故答案为：B.
【点睛】这个题目考查了正余弦定理解三角形的应用，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 7.
展开式中x2的系数为( )
，b＝2，其面积为
，代入数据得到
A. －1280 B. 4864 C. －4864 D. 1280
- 3 -
【答案】A 【解析】 【分析】
根据二项式展开式的公式得到具体为：
【详解】根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出个括号里出，第二个括号里出，具体为：化简得到-1280 x2 故得到答案为：A.
【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略： (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第
项，再由特定项的特点求出值即可.
项，由特
化简求值即可.
项，第二个括号里出项，或者第一
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第定项得出值，最后求出其参数.
8.下面框图的功能是求满足1×3×5×…×n＞111111的最小正整数n，则空白处应填入的是( )
A. 输出i＋2 B. 输出i C. 输出i－1 D. 输出i－2 【答案】D 【解析】 【分析】
根据框图，写出每一次循环的结果，进而做出判断. 【详解】根据程序框图得到循环是：
- 4 -
M=
……
之后进入判断，不符合题意时，输出，输出的是i-2.
故答案为：D.
【点睛】这个题目考查了循环结构的程序框图，这种题目一般是依次写出每一次循环的结果，知道不满足或者满足判断框的条件为止.
9.设a＞1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，a3]，都有y∈[1＋loga2－a3，2－a]满足方程axay＝c，则a的取值集合为( ) A. {4} B. {，2} C. {2} D. {} 【答案】C 【解析】 【分析】 首先将函数变形为
是减函数，x∈[a，a3]时
，
问题转化为
【详解】方程aa＝c,变形为
xy
再由c的唯一性得到c值，进而得到参数a的值.
是减函数，当x∈[a，a]时
3
3
xy3
，因为对于任意的x∈[a，a]，都有y∈[1＋loga2－a，2－a]满足aa
＝c，故得到故答案为：C.
因为c的唯一性故得到进而得到a=2.
【点睛】这个题目考查了指对运算，考查了函数的值域的求法，以及方程的思想，综合性比较强.
10.已知正方形ABCD内接于⊙O，在正方形ABCD中，点E是AB边的中点，AC与DE交于点F，若区域M表示⊙O及其内部，区域N表示△AFE及△CDF的内部，如图所示的阴影部分，若向区域M中随机投一点，则所投的点落入区域N中的概率是( )
- 5 -
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】
设出正方形的边长，表示出圆的面积，进而得到阴影部分的面积，根据几何概型的概率公式求解即可.
【详解】设正方形的边长为2，则圆的半径为
根据△AFE及△CDF的相似性得到△AFE的高为△CDF高为，面积之和为
所投的点落入区域N中的概率是：
故答案为：B.
.
【点睛】本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的． 11.已知双曲线C：
（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上的一
点，线段PF1与y轴的交点M恰好是线段PF1的中点，双曲线C的渐近线的斜率与离心率分别是( ) A. ±1， B. 1， C. ±2， D. 2， 【答案】A 【解析】 【分析】
，其中O为坐标原点，则
- 6 -
由向量点积运算，以及投影的几何意义得到F2P=b,F1P=2a+b，F1F2=2c，最终利用勾股定理得到【详解】根据向量的点积运算公式得到
，再根据双曲线的几何意义和定义得到
可得到结果.
，
因为点M恰好是线段PF1的中点，O点为F1F2的中点，故MO为三角形F1F2P的中线,进而得到F2P=b,F2P垂直于x轴，F1F2=2c，根据双曲线的定义得到F1P=2a+b,在三角形F1F2P中利用勾股定理得到为
故答案为：A.
【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质．求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造中
的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中
与椭圆的值,
，综合两式化简得到
渐近线的斜率为±1，离心率
的关系不同．求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出
的齐次关系式,将用
可得；（2）建立表示,令两边同除以或化为的关系式,解方程或
者不等式求值或取值范围．
12.设函数f（x）是定义在区间（，＋∞）上的函数，f'（x）是函数f（x）的导函数，且xf'（x）ln2x＞f（x）（
），
，则不等式
的解集是( )
A. （，1） B. （1，＋∞） C. （0，1） D. （－∞，1） 【答案】C 【解析】 【分析】 构造函数【详解】构造函数
，对函数求导，得到函数的单调性，进而得到解集.
，定义在区间（，＋∞）上,对函数求导得到：
xf'（x）ln2x＞f（x）（），即xf'（x）ln2x-f（x）>0,故得到，函数单调递增，
- 7 -
不等式即，，根据函数的定义域以及函数单
调性得到故答案为：C.
.
【点睛】这个题目考查了导数在研究函数的单调性中的应用，对于解不等式的问题，比较简单的题目，可以直接解不等式；直接解比较困难的问题，可以研究函数的单调性，奇偶性等，直接比较自变量的大小即可. 二、填空题
13.若把一句话“我爱中国”的汉字顺序写错了，则可能出现的错误共有________种． 【答案】23 【解析】 【分析】
先计算得到四个字的全排列，减去不满足题意的即可. 【详解】“我爱中国”,这四个字的全排列有种.
故答案为：23.
【点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法： （1）元素相邻的排列问题——“捆邦法”； （2）元素相间的排列问题——“插空法”； （3）元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；
（4）带有“含”、“不含”、“至多”、“至少”的排列组合问题——间接法．
14.为了解世界各国的早餐饮食习惯，现从由中国人、美国人、英国人组成的总体中用分层抽样的方法抽取一个容量为m的样本进行分析．若总体中的中国人有400人、美国人有300人、英国人有300人，且所抽取的样本中，中国人比美国人多10人，则样本容量m＝________． 【答案】100 【解析】 【分析】
根据分层抽样的定义，根据条件建立比例关系即可得到结论．
种，其中有一种是正确的，故错误的有23
- 8 -
【详解】根据分层抽样的概念得到三国的人抽得的比例为4：3：3，设中国人抽取x人，则美国人抽取x-10,英国人抽取x-10人，根据比例得到美国人：30人，英国人30人，共100人. 故答案为：100.
【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决此类问题的基本方法，比较基础．
15.设x，y满足不等式组＝________． 【答案】－3 【解析】 【分析】
根据不等式组画出可行域，将目标函数化为y=-ax+z,结合图像得到参数值. 【详解】根据不等式组画出可行域得到：
，若目标函数z＝ax＋y（a＜0）的最小值为－5，则a
.
目标函数z＝ax＋y，可化为y=-ax+z,最小值在（0，-2）或者（）取得，
）取得
当最小值在（0，-2）处取得时，代入这个点得到z=-2,和题干不符；当最小值在（时，代入目标函数得到a=-3. 故答案为：-3.
【点睛】利用线性规划求最值的步骤：
- 9 -
(1)在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型（
型）和距离型（
型）．
型）、斜率
(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。 16.已知四棱柱
面上，若该棱柱的体积为16，【答案】【解析】 由于四棱柱面
是球的内接四棱柱，所以四边形
是圆内接四边形，因为底
中，，所以
，进而
，.因为该
的侧棱垂直于底面，底面是平行四边形，且各顶点都在同一球
，则此球的表面积的最小值等于___________.
是平行四边形，所以根据圆内接四边形的性质定理，得在四边形
，又因为底面.由
，得
是平行四边形，所以
，所以
，所以，所以
所以四边形是矩形，所以该四棱柱为长方体.设球的半径为，
，解得
棱柱的体积为16，所以.由已知条件，可得长方体的体对
，所以
时取等号，故球的半
.
角线就是其外接球的直径，所以
，当且仅当
径的最小值为，故此球表面积的最小值为故答案为：三、解答题
17.已知在等比数列{an}中，＝2，，差数列．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）求数列{bn}的前n项和． 【答案】（1）【解析】 【分析】
；（2）
.
＝128，数列{bn}满足b1＝1，b2＝2，且{
}为等
(1)根据等比数列的性质得到＝64，＝2，进而求出公比，得到数列的通项，再由等差数
- 10 -
列的公式得到结果；（2）根据第一问得到通项，分组求和即可. 【详解】（1）设等比数列{an}的公比为q． 由等比数列的性质得a4a5＝所以公比
．
n－2
＝128，又＝2，所以＝64．
所以数列{an}的通项公式为an＝a2q设等差数列{由题意得，公差所以等差数列{
＝2×2
n－2
＝2
n－1
．
}的公差为d．
，
}的通项公式为
（n＝1，2，…）．
．
所以数列{bn}的通项公式为（2）设数列{bn}的前n项和为Tn． 由（1）知，
（n＝1，2，…）．
n－2
记数列{}的前n项和为A，数列{2}的前n项和为B，则
，．
所以数列{bn}的前n项和为．
【点睛】这个题目考查了数列的通项公式的求法，以及数列求和的应用，常见的数列求和的方法有：分组求和，错位相减求和，倒序相加等.
18.2018年双11当天，某购物平台的销售业绩高达2135亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.9，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为140次．
（1）请完成下表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.5％的前提下，认为商品好评与服务好评有关？ 对商品好评 对服务好评 140 对服务不满意 合计 - 11 -
对商品不满意 合计
10 200 （2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为X．
①求随机变量X的分布列； ②求X的数学期望和方差． 附：P（K2≥k） k
【答案】（1）详见解析（2）①详见解析②【解析】 【分析】
(1)补充列联表，根据公式计算卡方值，进行判断；（2）（ⅰ）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3，x符合二项分布，按照二项分布的公式进行计算即可得到相应的概率值；（ⅱ）按照二项分布的期望和方差公式计算即可. 【详解】（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表： 对商品好评 对商品不满意 合计
对服务好评 140 10 150 对服务不满意 40 10 50 合计 180 20 200 ，
0.15 2.072 ，其中n＝a＋b＋c＋d． 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 - 12 -
则．
由于7.407＜7.879，则不可以在犯错误概率不超过0.5％的前提下，认为商品好评与服务好评有关．
（2）（ⅰ）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为， 且X的取值可以是0，1，2，3， 则
，
，
故X的分布列为 X P
（ⅱ）由于X～B（3，），则
，
．
0 1 2 3 ， ．
【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； 第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；
第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确.
19.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝120°，AC＝AB＝2，AA1＝3．
- 13 -
（1）求三棱柱ABC－A1B1C1的体积；
（2）若M是棱BC的一个靠近点C的三等分点，求二面角A－A1M－B的余弦值． 【答案】（1）【解析】 【分析】
(1)根据正弦定理求底面的面积，再由棱柱的体积公式求得体积，即可；（2）先根据题干条件得到以及图形特点得到AM⊥平面ABB1A1再建立坐标系，求得二面角的余弦值即可. 【详解】（1）因为∠BAC＝120°，AC＝AB＝2， 所以所以
2
2
2
（2）
．
．
（2）在△ABC中，由余弦定理，得BC＝AC＋AB－2×AC×AB×cos∠BAC
，
所以
．
因为M是棱BC的一个靠近点C的三等分点， 所以
．
因为∠BAC＝120°，AC＝AB＝2， 所以∠ACB＝∠ABC＝30°．
由余弦定理，得AM2＝AC2＋CM2－2×AC×CM×cos∠ACB
，
- 14 -
所以．
所以CM＝AM，
所以∠ACM＝∠CAM＝30°，
所以∠MAB＝∠CAB－∠CAM＝120°－30°＝90°，即AM⊥AB． 易知AA1⊥平面ABC，AM所以AA1⊥AM．
又因为AB∩AA1＝A，所以AM⊥平面ABB1A1．
以A为原点，AM，AB，AA1分别为x，y，z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系：
平面ABC，
则点A（0，0，0），M（所以
，
，0，0），A1（0，0，3），B（0，2，0），
．
设平面A1BM的法向量为m＝（x0，y0，z0），则
令z0＝2，得m＝（，3，2），易得平面AA1M的一个法向量为n＝（0，1，0）．
．
设二面角A－A1M－B的平面角为θ，由题意，得θ为锐角，则所以二面角A－A1M－B的余弦值为
．
【点睛】这个题目考查了空间几何体的体积的计算，平面和平面的夹角。求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建
- 15 -
系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做。 20.已知点O为坐标原点，椭圆C：
（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率
为，点I，J分别是椭圆C的右顶点、上顶点，△IOJ的边IJ上的中线长为． （1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点H（－2，0）的直线交椭圆C于A，B两点，若AF1⊥BF1，求直线AB的方程． 【答案】（1）【解析】 【分析】
（2）x－2y＋2＝0或x＋2y＋2＝0
(1)由直角三角形中线性质得到，再根据条件得到求解即可；（2）设出直
线AB，联立直线和椭圆得到二次方程，由AF1⊥BF1，得到＋x2）＋（1＋k2）x1x2＋1＋4k2＝0，代入韦达定理即可.
，整理得（1＋2k2）（x1
【详解】（1）由题意得△IOJ为直角三角形，且其斜边上的中线长为，所以．
设椭圆C的半焦距为c，则
解得
．
所以椭圆C的标准方程为
（2）由题知，点F1的坐标为（－1，0），显然直线AB的斜率存在， 设直线AB的方程为y＝k（x＋2）（k≠0），点A（x1，y1），B（x2，y2）． 联立
消去y，得（1＋2k）x＋8kx＋8k－2＝0，
2
2
2
2
所以Δ＝（8k2）2－4（1＋2k2）（8k2－2）＝8（1－2k2）＞0，所以．（*）
且，．
- 16 -
因为AF1⊥BF1，所以，
则（－1－x1，－y1）·（－1－x2，－y2）＝0， 1＋x1＋x2＋x1x2＋y1y2＝0，
1＋x1＋x2＋x1x2＋k（x1＋2）·k（x2＋2）＝0，
整理，得（1＋2k2）（x1＋x2）＋（1＋k2）x1x2＋1＋4k2＝0． 即
．
化简得4k－1＝0，解得因为
2
．
或
．
都满足（*）式，所以直线AB的方程为
即直线AB的方程为x－2y＋2＝0或x＋2y＋2＝0．
【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 21.已知函数f（x）＝ln（2＋ax）（a＞0），
（b∈R）．
（1）若函数f（x）的图象在点（3，f（3））处的切线与函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行，求a，b之间的关系；
（2）在（1）的条件下，若b＝a，且f（x）≥mg（x）对任意x∈[数m的取值范围． 【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）对函数求导，再根据在两点处的切线的斜率相等，得到f'（3）＝g'（1），进而得到参数的关系；（2）先由b＝a求出参数值，令对任意x∈[
，则问题转化为h（x）≥0
（2）（－∞，]
，＋∞）恒成立，求实
，＋∞）恒成立，对m分情况，对h(x)求导研究函数的单调性，得到函数最小
值，最小值大于等于0即可.
- 17 -
【详解】（1），，
因为函数f（x）的图象在点（3，f（3））处的切线与函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行，
所以f'（3）＝g'（1）． 所以
，化简得
， ，解得a＝2或
（舍去，因为a＞0）．
．
（2）由（1）得，若b＝a，则所以a＝b＝2．
所以f（x）＝ln（2＋2x），．
令2＋2x＞0，得x＞－1，则函数f（x）＝ln（2＋2x）的定义域是（－1，＋∞）； 令1＋x≠0，得x≠－1，则函数f（x）≥mg（x）对任意x∈[＋∞）恒成立． 令
，则问题转化为h（x）≥0对任意x∈[
．
①当所以函数
，即x＋1－m≥0时，h'（x）≥0且h'（x）不恒为0，
在区间[
，＋∞）上单调递增．
，＋∞）恒成立．
的定义域是（－∞，－1）∪（－1，＋∞）．
对任意x∈[
，
，＋∞）恒成立，即
又，
所以h（x）≥0对任意x∈[②当令所以函数单调递增，
时，令
，＋∞）恒成立．故，得
；
符合题意．
，得x＞m－1．
在区间[
，m－1）上单调递减，在区间（m－1，＋∞）上
- 18 -
所以．即当时，存在，使h（x0）＜0．
不符合题意．
故知h（x）≥0对任意x∈[，＋∞）不恒成立．故
综上可知，实数m的取值范围是（－∞，]．
【点睛】这个题目考查了导数的几何意义，以及恒成立求参的问题；对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。
22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
（t为参数），以坐标原点为
极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为
，且直线l经过曲线C的左焦点F．
（1）求直线l的普通方程；
（2）设曲线C的内接矩形的周长为L，求L的最大值． 【答案】（1）x＋2y＋1＝0（2）【解析】 【分析】
(1)由极坐标化直角坐标的公式可得到曲线C的普通方程，消去参数t可得到直线普通方程，再代入F点坐标可得到直线方程；（2）椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为（内接矩形的周长为
，化一求最值即可.
，即ρ＋ρsinθ＝2．
2
2
2
，sinθ）
【详解】（1）因为曲线C的极坐标方程为将ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y，代入上式，得 x＋2y＝2，即
2
2
．
．
所以曲线C的直角坐标方程为
2
2
2
于是c＝a－b＝1，所以F（－1，0）． 由
消去参数t，
得直线l的普通方程为
．
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将F（－1，0）代入直线方程得．
所以直线l的普通方程为x＋2y＋1＝0． （2）设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为（所以椭圆C的内接矩形的周长为C的内接矩形的周长的最大值
．
，sinθ）（
（其中
），
），故椭圆
【点睛】这个题目主要考查了参数方程和极坐标方程化为普通方程的化法，以及椭圆参数方程的应用，参数方程的引入很好地将多元问题化为一元问题，参数方程多数可以用于求最值或范围.
23.已知函数f（x）＝|x＋1|．
（1）若不等式f（x）≥|2x＋1|－1的解集为A，且（2）在（1）的条件下，若
，求实数t的取值范围；
，证明：f（ab）＞f（a）－f（－b）．
【答案】（1）（，2] （2）详见解析 【解析】 【分析】
（1）零点分区间去掉绝对值，得到解集为{x|－1≤x≤1}，由集合间的包含关系得到－1≤1－t＜t－2≤1，解得展开，提公因式即可得证.
【详解】（1）不等式f（x）≥|2x＋1|－1，即|x＋1|－|2x＋1|＋1≥0．
当x＜－1时，不等式可化为－x－1＋（2x＋1）＋1≥0，解得x≥－1，这时原不等式无解； 当
，不等式可化为x＋1＋（2x＋1）＋1≥0，解得x≥－1，这时不等式的解为；
当
时，不等式可化为x＋1－（2x＋1）＋1≥0，解得x≤1，这时不等式的解为
．
;(2)原式等价于|ab＋1|＞|a＋b|，即证|ab＋1|2＞|a＋b|2，两边
所以不等式f（x）≥|2x＋1|－1的解集为{x|－1≤x≤1}． 因为[1－t，t－2]
A，
．
所以－1≤1－t＜t－2≤1，解得即实数t的取值范围是（，2]．
（2）证明：因为f（a）－f（b）＝|a＋1|－|－b＋1|≤a＋1－（－b＋1）＝|a＋b|，
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所以要证f（ab）＞f（a）－f（－b）成立， 只需证|ab＋1|＞|a＋b|，即证|ab＋1|2＞|a＋b|2， 也就是证明a2b2＋2ab＋1＞a2＋2ab＋b2成立， 即证ab－a－b＋1＞0，即证（a－1）（b－1）＞0． 因为A＝{x|－1≤x≤1}，
2
2
22
2
2
2
2
，
所以|a|＞1，|b|＞1，a＞1，b＞1． 所以（a2－1）（b2－1）＞0成立． 从而对于任意的
，都有f（ab）＞f（a）－f（－b）成立．
【点睛】这个题目考查了含绝对值的不等式的解法，一般是零点分区间去掉绝对值，分情况求解，对于不等式的证明，一般是做差和0比较即可.
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