1．试证：在平面上不存在这样的四点A，B，C，D，使得
?ABC,?BC,D?C,D?A都是锐角三角形（可考虑DABA，B，C，D四点的凸包）。
2．平面上给定六个点，其中任意三个点不共线，求证：一定可以选取其中三个点，使这三点所构成的三角形中有一个内角不小于120°.（匈牙利）
3．在平面上任取六个点，求证：两两连结这些点所成的线段中，最长线段与最短线段长度之比?满足??3 .（波兰）
4．平面上的四个点可以连成六条线段，证明：最长线段和最短线段的比不小于2.
5．在平面上给定几个点（n?4），其中无三点共线，且构成的三角形内部都没有所给的任何一点，求证：这些点可以这样编写，使得多边形A1A2A3?An为凸n边形。
6．平面上给出2n?3(n?1)个点，其中无三点共线，也无四点共圆，能否过其中某3个点作一个圆，使得其余的2n个点一半在圆内，一半在圆外？
7．在平面上任给六个点，无三点共线，证明：一定可以从中选出三点，使以它们为顶点的三角形中有一个内角不大于30°.
8．平面上有一个1010?2个点的点集，其中任三点都不共线，能否过其中某两点作一条直线，使直线两侧各有5?109个点。
9．求证：(n?5)正n边形不可能为格点多边形。
10．剪一个面积?n的纸片（形状任意），证明它一定能盖住直角坐标系中n?1个格点。
11．在一个面积为1的正三角形内任放5个点，证明可以作3条边分别与原三角形的边平行的正三角形覆盖这5个点，这三个正三角形的面积之和
10。 S?()2??(??0,?为任意的正数）
1312．M、N、P分别是?ABC的三边BC、CA、AB的中点，M1N1、P1在?ABC的边上，且满足MM1、NN1、PP1分别平分?ABC的周长，证明：
⑴MM1、NN1、PP1交于同一点K.⑵
1KAKBKC、、中必有一个不小于. BCCAAB31
1．试证：在平面上不存在这样的四点A，B，C，D，使得
?ABC,?BC,D?C,D?A都是锐角三角形（可考虑DABA，B，C，D四点的凸包）。
2．平面上给定六个点，其中任意三个点不共线，求证：一定可以选取其中三个点，使这三点所构成的三角形中有一个内角不小于120°.（匈牙利）
3．在平面上任取六个点，求证：两两连结这些点所成的线段中，最长线段与最短线段长度之比?满足??3 .（波兰）
4．平面上任给出五个相异点，它们之间的最大距离与最小距离之比记为?，求证：??2sin54，并讨论等号成立的充要条件。
5．平面上的四个点可以连成六条线段，证明：最长线段和最短线段的比不小于2.
6．在平面上给定几个点（n?4），其中无三点共线，且构成的三角形内部都没有所给的任何一点，求证：这些点可以这样编写，使得多边形A1A2A3?An为凸n边形。
7．已知一个平面内有n个点（n?4），其中没有三点在一直线上，证明：至
2少可以找到Cn?3个以上述点为顶点的凸四边形。
8．设A、B是两个无公共元素的平面有限点集，且A?B中任三点不共线，如果A和B之一至少包含5个点，证明：存在一个三角形，它的顶点都在A或都在B中，而内部不包含另一集合的点。
9．求证：单位面积的凸图形（包括边界）任取五个点，则以这五个点为顶点所构成的十个三角形中，至少有一个三角形的面积不超过是最好的。
10．平面上给出2n?3(n?1)个点，其中无三点共线，也无四点共圆，能否过其中某3个点作一个圆，使得其余的2n个点一半在圆内，一半在圆外？
11．在平面上任给六个点，无三点共线，证明：一定可以从中选出三点，使以它们为顶点的三角形中有一个内角不大于30°.
12．平面上有一个1010?2个点的点集，其中任三点都不共线，能否过其中某两点作一条直线，使直线两侧各有5?109个点。
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2 . 且这个常数5?513．求证：(n?5)正n边形不可能为格点多边形。
14．将平面上的每个点染上7种颜色中的一种，使得没有两种颜色相同的点距离为1。
15．剪一个面积?n的纸片（形状任意），证明它一定能盖住直角坐标系中n?1个格点。
16．在一个6×6的棋盘上已经放了11张1×2的骨牌，证明至少能再放进 一张骨牌（每张骨牌恰好占据棋盘上两个方格，放了以后不准移动）。
17．在一个面积为1的正三角形内任放5个点，证明可以作3条边分别与原三角形的边平行的正三角形覆盖这5个点，这三个正三角形的面积之和
10。 S?()2??(??0,?为任意的正数）
1318．M、N、P分别是?ABC的三边BC、CA、AB的中点，M1N1、P1在?ABC的边上，且满足MM1、NN1、PP1分别平分?ABC的周长，证明：
⑴MM1、NN1、PP1交于同一点K. ⑵
1KAKBKC、、中必有一个不小于. BCCAAB3（越南国家队选拔题）
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