A． y=± 3x B． y=± 2 2 x C．y=±（ 1+ 3 ）x D． y=±（ 3 －1） x
二、填空题 （本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 把答案填在题中横线上） 13．抛物线 y＝ 4x2 的焦点到准线的距离是＿＿＿＿＿．
14．中心在原点，焦点在
此椭圆的方程是＿＿＿＿＿．
15．若点 P 在曲线 C1：
x 轴上，若长轴长为 18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则
x2
－ y2线 C ：（ x＋ 5） ＋ y＝ 1 上，则 | PQ| － | PR| 的最大值是＿＿＿＿＿．
3
22
16
＝ 1 上，点 Q 在曲线 C2：（x－ 5） 2＋ y2＝ 1 上，点 R 在曲 9
16．已知点 P 是抛物线 y2＝ 2x 上的动点， 点 P 到准线的距离为 d，且点 P 在 y 轴上的射
7
影是 M，点 A（ 2， 4），则 | PA| ＋| PM| 的最小值是＿＿＿＿＿．
17．已知 F1 为椭圆 C：
x2
＋ y2＝ 1 的左焦点，直线
l：y＝x－ 1 与椭圆 C 交于 A、B 两点，
2
则| F1A| ＋| F1B| 的值为＿＿＿＿＿．
18．过抛物线 y2=2px（ p>0）的焦点作斜率为
B 在 y 轴上的正射影分别为
三、解答题 （本大题共
3 的直线与该抛物线交于
A，B 两点， A，
D， C，若梯形 ABCD的面积为 10 3 ，则 p=＿＿＿＿＿． 6 小题，共 60 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（ 10 分）已知双曲线的渐近线方程为
4 3
y＝ ± x，并且焦点都在圆 x ＋ y ＝ 100 上，求
2 2
双曲线方程．
x2 y2
20．（ 10 分）已知点 P（ 3， 4）是椭圆 a2＋ b2＝1（ a＞ b＞ 0）上的一点， F1， F2 是椭圆
的左、右焦点，若 PF1⊥ PF2．试求：
2
（ 1）椭圆的方程； （ 2）△ PF1F2 的面积．
21．（ 10 分）抛物线 y ＝2px（ p>0）有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直
角边所在直线方程为 y＝ 2x，斜边长 为 5 13，求此抛物线方程．
22．（ 10 分）已知抛物线 C 的顶点在原点，焦点
点 Q（6，0），求此抛物线的方程．
F 在 x 轴的正半轴上，设 A、 B 是抛物
线 C 上的两个动点（ AB 不垂直于 x 轴），且 | AF| ＋ | BF| ＝ 8，线段 AB 的垂直平分线恒经过定
23．（ 10 分）设双曲线 C： 2 －y ＝1 （a>0）与直线 l ：x＋ y＝ 1 相交于两点 A、B．
a
（ 1）求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围；
→ →
（ 2）设直线 l 与 y 轴的交点为 P，且 PA＝ 5 ，求 a 的值．
x2
2
2
x
12
2 y
PB
6
24．（ 10 分）已知椭圆 C： a2 ＋ b2＝ 1（a>b>0）的离心率为 3 （ 1）求椭圆 C 的方程；
（ 2）过点 P（ 0， 2）的直线交椭 圆 C 于 A， B 两点，求△ AOB（ O 为原点）面积的最大
，且经过点（3 1 ， 2 2）．
值．
参考答案
一、选择题 1． C
2． D 8． C
3 ．D 9． B
4． B 10． A
5． A 11． C
6． D 12． C
7． C 提示：
为 y2 ＝16x．
1．由题设知直线 3x－ 4y－12＝ 0 与 x 轴的交点（ 4， 0）即为抛物线的焦点，故其方程
|| PF1| － | PF2|| ＝ 2，所以 | PF2| ＝ 7 或 3．
2．因为双曲线的定义可得
1
3．由题意知 | MF2| ＝ 10－ | MF1| ＝ 8，ON 是△ MF1 F2 的中位线， 所以 | ON| ＝ 2| MF2| ＝ 4．
x
2
y
2
m－ 2>0，
4．若m－2 ＋ 6－ m ＝1 表示椭圆， 则有 6－ m>0， 所以 2 m－2≠6－ m， xy 是 ＋ ＝ 1 表示椭圆的必要不充分条件． m－ 2 6－ m 2 2 c ＝ 2． 5．依题意，得 c＝ 2， a＝1 ，所以 e＝ a 6．由题知点 A 在抛物线内．设 M 到准线的距离为 | MK| ，则 | MA | ＋ | MF| ＝ | MA| ＋ | MK| ， 当| MA| ＋ | MK| 最小时， M 点坐标是（ 2，4）． c2 a2＋ b2 b2 5 b2 1 c2 a2－ b2 7．因为在双曲线中， e2＝ a2＝ a2 ＝ 1＋ a2＝ 4，所以 a2＝ 4，在椭圆中， e2＝ a2＝ a2 b2 1 3 3 ＝1－ 2 e＝ ． ＝ ，所以椭圆的离心率 a ＝ 1－ 4 4 2 8．由 P 是双曲线上的一点和 3| PF1| ＝ 4| PF2 | 可知，| PF1| － | PF2| ＝ 2，解得 | PF1| ＝ 8，| PF2| ＝6，又 | F1 F2| ＝ 2c＝ 10，所以△ PF1F2 为直角三角形，所以△ PF1 F2 的面积 S＝ × 6×8＝24． 2 9．将点（ 1， 2）代入 y2 ＝2px 中，可得 p＝ 2，即得抛物线 1y2＝ 4x，其焦点坐标为（ 1， 0），将点（ 1， 2）代入 y＝ k（ x＋ 1）中，可得 k＝ 1，即得直线 x－y＋ 1＝ 0，所以抛物线 C |1－0＋1| ＝ 2． 的焦点到直线 l 的距离 d＝ 2 → → 10．由椭圆方程得 F（－ 1，0），设 P（x0， y0），则 OP·FP＝（ x0， y0） ·（ x0＋ 1， y0）＝ 2 2 x0＋ x0＋ y0，因为 P 为椭圆上一点，所以 x02 y02 x02 → →2 x02 4 ＋ 3 ＝ 1，所以 OP·FP＝x0＋x0＋ 3（ 1－ 4 ）＝ 4 ＋x0 1 → → 2 ＋3＝ 4 （ x0＋ 2） ＋2 ，因为－ 2≤ x0≤ 2，所以 OP·FP的最大值在 x0＝2 时取得，且最大值等 于 6． 11．根据题意设椭圆方程为 ＋b＋ 4 2x2 y2 b2＝ 1（b>0），则将 x＝－ 3y－ 4 代入椭圆方程，得 4（b 2＋1 ）y2 ＋8 3b2y－ b4＋ 12b2＝ 0，因为椭圆与直线 x＋ 3y＋ 4＝ 0 有且仅有一个交点， 所以 ＝（ 8 3b2） 2 － 4×4（b2 ＋ 1）（－ b4 ＋12b2）＝ 0，即（ b2＋ 4） ·（ b2－ 3）＝ 0，所以 12．根据双曲线的定义有 |CF1| － |CF2|=2a ，而 |BC|=|CF 2| ，那么 2a=|CF 1| － |CF2|=|CF 1| b2＝ 3，长轴长为 2 b2＋ 4＝ 2 7． － |BC|=|BF 1| ，而又由双曲线的定义有 |BF 2| － |BF1|=2a ，可得 |BF 2|=4a ，由于过 F1 作圆 x2+y2=a2 的切线交双曲线的左、右支分别于点 B、 C，那么 sin∠BF1F2= ，那么 cos∠ BF1F2= ，根据 ab c 2 －2ab－ 2a =0，即（ c b 余弦定理有 cos∠ BF1F2 = b ( 2a)2 = ( 2c) 2 (4a)2 2 ，整理有 b 2 ） － 2 － 2=0，解得 =1+ b a b c 3（ =1－ 3 <0 舍去），故双曲线的渐近线方程为 y=± x=±（ 1+ b 2 2a 2c b a a 来源 :Zxxk.Com] 2 y a 16． 17 18． 3 a 3 ）x． 1 2 x 二、填空题 13． 14． 8 提示： 2 13．由 x ＝ ＋ ＝ 115 ． 10 81 72 9 2 ． 8 2 3 1 4 y 知， p＝ 1 8 ，所以焦点到准线的距离为 p＝ ． 1 8 14．依题意知： 2a＝ 18，所以 a＝ 9，2c＝ 1 3 ×2a，所以 c＝3，所以 b2＝a 2－ c2＝ 81－ 9＝ 2272，所以椭圆方程为 x ＋ y ＝ 1． 81 72 15．依题意得， 点 F1（－ 5，0 ）、F2（ 5，0）分别为双曲线 C1 的左、右焦点， 因此有 | PQ| － | PR| ≤ | （ | PF2| ＋ 1）－（ | PF1| － 1） | ≤|| PF2| － | PF1|| ＋ 2＝ 2×4＋ 2＝ 10，故 | PQ| －| PR| 的最大值是 10． 16．设抛物线 y＝ 2x 的焦点为 F，则 F（ 2 1 2 ，0），又点 A（ ， 4）在抛物线的外侧，抛物 7 线的准线方程为 x＝－ ，则 | PM| ＝ d－ ，又 | PA| ＋ d＝ | PA| ＋| PF| ≥ | AF| ＝ 5，所以 | PA| ＋ 2 2 11 2 |PM|≥ 9． 2 x2 2 ＋ y＝ 1， 2 17．设点 A（ x1， y1）， B（x2， y2）， 则由 2消去 y 整理得 3x－4x＝ 0， 解 y＝ x－ 1， 得 x ＝ 0，x ＝ 1 4 2 ，易得点 A（0，－ 1）、B（ ，）．又点 F（－ 1，0），因此 | F 4 1 3 3 2 1A| ＋| F1B| ＝ 1 ＋－12 ＋ 3 1 72＋ 12＝8 2． 3 3 3 18．由抛物线 2 y =2px（ p>0）得其焦点 F（ p 2 ，0），直线 AB 的方程为 y= 3 （x－ ）， p 2 y 设 A（ x1， y1 ），B（ x2， y2）（假定 x2>x1），由题意可知 y1<0， y2>0，联立 3( x p) 2 ， y2 2 px 整理有 3 y2－ 2py－ 3 p2 =0，可得 y1+y2 = 2 p ，y1y2=－ p，则有 x1+x2= 25 p3 ，而梯形 ABCD 3 ( y1 的面积为 S= （ x1 +x2）（ y2－ y1）= 15 p6 2 故 p=3． 三、解答题 y2 )2 4 y1y2 =10 3 ，整理有 p2=9，而 p>0， 2 2 2 2 2 19．解：设双曲线的方程为 |λ| 2 |λ| 从而有（ 4 ） 4 ·x － 3 ·y ＝ λ（ λ≠0）， ＋（3） ＝100，解得 λ＝ ±576， 2222x y y x 所以双曲线的方程为 36－ 64＝1 和 64－ 36＝ 1． 9 a b 20．解：（ 1）因为 P 点在椭圆上，所以 16 ＝ 1，① 2＋ 2 来源 学科网 ZXXK] 又 PF1⊥ PF2，所以 4 ·4 ＝－ 1 ，得： c2＝ 25，② 3＋ c 3－ c 又 a2＝ b2＋ c2，③ 由①②③得 a2＝ 45，b2＝ 20，则椭圆方程为 x 2 ＋ ＝1； y 2 1 45 20 （ 2） S PF1F2 ＝ 2| F1F2| ×4＝ 5×4＝ 20． 21．解：设抛物线 y2 ＝2px（ p>0）的内接直角三角形为 为 y＝ 2x，另一直角边所在直线方程为 y＝－ x， 2 1AOB，直角边 OA 所在直线方程 解方程组 y＝ 2x， y2＝ 2px， 1 可得点 A 的坐标为 p ，p ； 2 解方程组 y＝－ 2x， 可得点 B 的坐标为（ 8p，－ 4p）． y2＝ 2px， 因为 |OA|2＋ |OB|2＝ |AB |2，且 |AB|＝ 5 13， 所以 ＋p2 ＋（ 64p2＋ 16p2）＝ 325， 4 p 2 所以 p＝2，所以所求的抛物线方程为 2 y2＝ 4x． 22．解：设抛物线的方程为 y ＝2px（ p>0），其准线方程为 [来源 学科网 x＝－ ， p 2 ZXXK] 设 A（ x1， y1 ）， B（ x2，y2），因为 |AF|＋ |BF|＝ 8， p p 所以 x1＋2＋ x2＋ 2＝ 8，即 x1＋ x2 ＝8－ p， 因为 Q（ 6，0）在线段 AB 的中垂线上，所以 即（ x1－ 6）2＋ y21＝（ x2－ 6） 2＋ y22， QA＝ QB， 又 y21＝ 2px1， y22＝ 2px2，所以（ x1－ x2）（ x1＋ x2－12＋ 2p）＝ 0， 因为 x1≠x2 ，所以 x1＋ x2＝ 12－2p，故 8－ p＝ 12－2p，所以 p＝ 4，
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