2019年四川省成都七中自主招生数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 若??=5??2?12????+10??2?6???4??+13(??、y为实数)，则M的值一定是( )
A. 非负数 B. 负数 C. 正数 D. 零 2. 将一个棱长为??(??>2且m为正整数)的正方体木块的表面染上红色，然后切成??3
个棱长为1的小正方体，发现只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个表面染有红色的小正方体的数量的12倍，则m等于( ) A. 16 B. 18 C. 26 D. 32 3. 已知6??2?100??+7=0以及7??2?100??+6=0，且????≠1，则??的值为( )
??
A. 3 4. 若??=
√3，??
√2+√3+√550
B. 7
??
6
C.
1007
D. 6 7
=2+√6?√10，则??的值为( )
A. 2
1
B. 4
1
C. √2+√3 1D. √6+√10 15. 满足|????|+|?????|?1=0的整数对(??,??)共有( )
A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个
E为BC边的中点，BD与AE相交于点O，????=6. 在凸四边形ABCD中，且????=????，
2????，则??△??????：??△??????的值为( ) A. 2：5 B. 1：3 C. 2：3 D. 1：2
7. 从1到2019连续自然数的平方和12+22+32+?+20192的个位数字是( )
A. 0 B. 1 C. 5 D. 9 8. 已知??+??+??=0，且??+1+??+2+??+3=0，则代数式(??+1)2+(??+2)2+(??+3)2的值为( ) A. 3 B. 14 C. 16 D. 36
9. 将一枚六个面编号分别为1、2、3、4、5、6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两
次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x、y的方程组
????+????=2{，只有正数解的概率为( ) 2??+??=3
1
1
1
A. 12 1
B. 6
1
C. 18 5
D. 36
13
10. 方程3??2?8???3???1=0，当a取遍0到5的所有实数值时，则满足方程的整数
b的个数是( ) A. 12个 B. 13个 C. 14个 D. 15个
11. 若一个三角形的三边和为40，且各边长均为整数，则符合条件的三角形的个数为
( ) A. 31个 B. 32个 C. 33个 D. 34个
12. 若关于x的方程??2+????+???3=0有实根，则??2+(???4)2的最小值为( )
A. 0 B. 1 C. 4 D. 9 二、填空题（本大题共7小题，共52.0分）
3+1313. 已知??=√，则代数式??4?3??3?3??+1的值为______．
2
14. 在正十边形的10个顶点中，任取4个顶点，那么以这4个顶点为顶点的梯形有______
个．
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15. 在????△??????中，∠??=90°，????=1，????=2，D为
AB中点，E为边BC上一点，将△??????沿DE翻折得到△??′????，使△??′????与△??????重叠部分的面积占△
??????面积的4，则BE的长为______．
16. 已知关于x的方程√??2?2??+1?√??2?4??+4+2√??2?6??+9=??恰好有两个
实数解，则m的取值范围为______．
PA切⊙??于点A，PE交⊙??于点F、E，17. 如图，过点A作????⊥
????于点D，交⊙??于点B，连接DF，若sin∠??????=3，????=5????，则????=______．
18. 如图，四边形ABCD中，????=????=5，????=????=12，∠??=∠??=90°.??和N分别是线段AD和线段BC上的点，且满足????=????，则线段MN的最小值为______．
????
2
1
=??0+??1??+??2??2+??3??3…+????????，19. 若?2
20. 已知二次函数??=??2+(???7)??+6，反比例函数??=??
(1)当??=2时，求这两个函数图象的交点坐标；
(2)若这两个函数的图象的交点不止一个，且交点横、纵坐标都是整数，求符合条件的正整数a的值；
(3)若这两个函数的交点都在直线??=2的右侧，求a的取值范围．
21.
22. 已知：四边形ABCD中，点E、F分别为边AD、AB上的点，连接BE、DF相交于
点G，且满足∠??????=∠??????
(1)如图1，若????=????=??，cos∠??????=3，????=3，求AE的长(用含n的代数式表示)；
(2)如图2，若ABCD为矩形，G恰为BE中点，连接CG，????=1，作点A关于BE的对称点??′，??′到CG的距离为
3√2
，求4
21
??
1??
DE的长．
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答案解析
1.【答案】A
【解析】解：??=5??2?12????+10??2?6???4??+13=4??2?12????+9??2+??2?4??+4+??2?6??+9=(2???3??)2+(???2)2+(???3)2≥0，故M一定是非负数． 故选：A．
通过配方法配出平方根，从而判断M值的大小．
本题考查了配方法的应用，熟练配方法的应用是解答此题的关键． 2.【答案】C
【解析】解：将一个棱长为??(??>2且m为正整数)的正方体木块的表面染上红色，然后切成??3个棱长为1的小正方体，则
只有一个表面染有红色的小正方体的数量为6(???2)2， 恰有两个表面染有红色的小正方体的数量12(???2)，
∵只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个表面染有红色的小正方体的数量的12倍，
∴6(???2)2=12×12(???2)， 解得??1=26，??2=2(舍去)， 故选：C．
只有一个表面染有红色的小正方体的数量为6(???2)2，恰有两个表面染有红色的小正方体的数量12(???2)，根据只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个表面染有红色的小正方体的数量的12倍，即可得到m的值． 本题主要考查了正方体，解决问题的关键是抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱长上，3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题． 3.【答案】D
【解析】解：∵7??2?100??+6=0， ∴6×
1??2?100×+7=0，
??
1
∵6??2?100??+7=0，
∴??、??是方程6??2?100??+7=0的两根， ∴由根与系数的关系可知：??=6，
故选：D．
根据根与系数的关系即可求出答案． 本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型． 4.【答案】B
【解析】解：??=∴??=4． 故选：B． 将a乘以√2+√3?√5√2+√3?√5??
??
1
√3√2+√3?√5?√2+√3+√5√2+√3?√5??
7
1
=
√3(√2+√3?√5)2√6=
√2(√2+√3?√5)4
=4．
??
可化简为关于b的式子，从而得到a和b的关系，继而能得出??的值．
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本题考查二次根式的乘除法，有一定难度，关键是在分母有理化时要观察b的形式． 5.【答案】C
【解析】解：∵|????|+|?????|=1， ∴0≤|????|≤1，0≤|?????|≤1， ∵??，b是整数，
∴|????|=0，|?????|=1或|?????|=0，|????|=1 ①当|????|=0，|?????|=1时， Ⅰ、当??=0时，??=±1，
∴整数对(??,??)为(0,1)或(0,?1)， Ⅱ、当??=0时，??=±1，
∴整数对(??,??)为(1,0)或(?1,0)， ②当|?????|=0，|????|=1时， ∴??=??，∴??2=??2=1，
∴??=1，??=1或??=?1，??=?1， ∴整数对(??,??)为(1,1)或(?1,?1)，
即：满足|????|+|?????|=1的所有整数对(??,??)为(0,1)或(0,?1)或(1,0)或(?1,0)或(1,1)或(?1,?1)．
∴满足|????|+|?????|?1=0的整数对(??,??)共有6个． 故选：C．
先判断出|????|=0，|?????|=1或|?????|=0，|????|=1，再借助a，b是整数即可得出结论．
|?????|=1或|?????|=此题考查了绝对值，以及数对，分类讨论的思想，确定出|????|=0，
0，|????|=1是解题的关键． 6.【答案】D
【解析】解：如图，过点B作????//????交AE延长线于F，连接OC，
∵????//???? ∴∠??=∠??????
∵????=????，∠??????=∠?????? ∴△??????≌△??????(??????)
∴????=???? ∵????=2???? ∴????=2????
∴????=????，
∵??为BC边的中点
∴????=????
∵∠??????=∠??????
∴△??????≌△??????(??????)
∴∠??????=∠?????? ∴????//???? ????//????
∴??△??????=??△??????，
∵????=2????
∴??△??????=2??△??????，
∴??△??????=2??△??????
∴??△??????：??△??????=1：2；
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故选：D．
过点B作????//????交AE延长线于F，连接OC，先证明△??????≌△??????，再证明△??????≌△??????，??△??????=1：可得????//????，可得??△??????=??△??????，由??△??????=2??△??????，可得??△??????：2；
本题考查了全等三角形判定和性质，三角形面积，平行线间的距离等知识点，有一定的难度，解题关键是作平行线构造全等三角形． 7.【答案】A
【解析】解：以2为指数的幂的末位数字是1，4，9，6，5，6，9，4，1，0依次循环的，
∵2019÷10=201…9，
(1+4+9+6+5+6+9+4+1+0)×201+(1+4+9+6+5+6+9+4+1) =45×201+45 =9045+45 =9090，
∴12+22+32+42+?+20192的个位数字是0． 故选：A．
由题中可以看出，故个位的数字是以10为周期变化的，用2019÷10，计算一下看看有多少个周期即可．
此题主要考查了找规律，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的关键是找到以2为指数的末位数字的循环规律． 8.【答案】D
【解析】解：∵??+??+??=0，且??+1+??+2+??+3=0，
[(??+1)2+(??+2)2+(??+3)2][12+12+12]
≥[(1×(??+1)+1×(??+2)+1×(??+3)]2
=(??+??+??+6)2
(??+1)2+(??+2)2+(??+3)2≥36
∴(??+1)2+(??+2)2+(??+3)2的值为36． 故选：D．
根据已知条件可得x、y、z的值即可求解．
本题考查了分式的加减法，解决本题的关键是合理分析已知条件． 9.【答案】B
【解析】解：①当???2??=0时，方程组无解；
②当???2??≠0时，方程组的解为由a、b的实际意义为1，2，3，4，5，6可得． 易知a，b都为大于0的整数，则两式联合求解可得??=2?????，??=2?????， ∵使x、y都大于0则有??=2?????>0，??=2?????>0， ∴解得??<3，??>3或者??>3，??<3，
∵??，b都为1到6的整数，
∴可知当a为1时b只能是1，2，3，4，5，6；或者a为2，3，4，5，6时b无解， 这两种情况的总出现可能有6种； (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)，
4
2
4
2
3???2
4?3??
3???2
4?3??
1
1
1
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