课时分层作业(十五) 离散型随机变量的方差
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝p(1－p)为( )
A．0和1 C．p和1－p
B．p和p D．p和(1－p)p
2
k1－k(k＝0,1)，则E(X)和D(X)的值分别
D [由题意知随机变量X满足两点分布，∴E(X)＝p，D(X)＝(1－p)p.]
2．已知随机变量ξ满足P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝2)＝0.7，则E(ξ)和D(ξ)的值分别为( )
【导学号：95032196】
A．0.6和0.7 C．0.3和0.7
B．1.7和0.09 D．1.7和0.21
2
2
D [E(ξ)＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，D(ξ)＝(1.7－1)×0.3＋(1.7－2)×0.7＝0.21.] 3．已知随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，且E(X)＝7，D(X)＝6，则p等于( ) 1A. 71C. 5
1B. 61D. 4
61
A [np＝7且np(1－p)＝6，解得1－p＝，∴p＝.]
77
4．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，21
且a，b，c∈(0,1)．已知他投篮一次得分的均值为2，则＋的最小值为( )
a3bA.C.32 314 3
B.D.28 316 3
221
D [由题意，得3a＋2b＋0×c＝2，即3a＋2b＝2，其中0＜a＜，0＜b＜1.又＋＝
3a3b3a＋2b?21?12ba10
＋?＝3＋＋＋≥＋2?2?a3b?3a2b3
2ba162ba·＝，当且仅当＝，即a＝2b时取等a2b3a2b112116
号．又3a＋2b＝2，故当a＝，b＝时，＋取得最小值，为.故选D.]
24a3b3
5．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ、η的分布列如下表．表中射击比较稳定的运动
1
员是( )
【导学号：95032197】
环数k 8 0.3 0.2 9 0.2 0.4 10 0.5 0.4 P(ξ＝k) P(η＝k) A．甲 C．一样
B [由题中分布列可得：
B．乙 D．无法比较
E(ξ)＝8×0.3＋9×0.2＋10×0.5＝9.2 E(η)＝8×0.2＋9×0.4＋10×0.4＝9.2
D(ξ)＝(8－9.2)2×0.3＋(9－9.2)2×0.2＋(10－9.2)2×0.5＝0.76 D(η)＝(8－9.2)2×0.2＋(9－9.2)2×0.4＋(10－9.2)2×0.4＝0.56
∵E(ξ)＝E(η)，D(ξ)＞D(η)
∴甲、乙两名运动员射击命中环数的平均数相等，而乙的成绩波动性较小，更稳定．] 二、填空题
1
6．一批产品中，次品率为，现连续抽取4次，其次品数记为X，则D(X)的值为________．
381?1?8?1? [由题意知X～B?4，?，所以D(X)＝4××?1－?＝.] 93?3?9?3?
7．若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为________．
0．5 [在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)，所以p(1－p)＝0.25，解得p＝0.5.]
1
8．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.
5
【导学号：95032198】
2
[设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b， 5
?1
则?＋a＋b＝1，?5
a＋2b＝1，
?3解得?a＝，5?
b＝，1
5
1312222
所以D(ξ)＝(0－1)×＋(1－1)×＋(2－1)×＝.] 5555三、解答题
9．已知随机变量X的分布列为
X 0 1 x 2
P 2
若E(X)＝.
3(1)求D(X)的值；
(2)若Y＝3X－2，求D(Y)的值． 111
[解] 由＋＋p＝1，得p＝. 2361112
又E(X)＝0×＋1×＋x＝，
2363所以x＝2.
2
2
1 21 3p 2
?2?1?2?1?2?1155
(1)D(X)＝?0－?×＋?1－?×＋?2－?×＝＝.
?3?2?3?3?3?6279
(2)因为Y＝3X－2，所以D(Y)＝D(3X－2)＝9D(X)＝5.
10．有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上0,1,2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令X＝x·y.
求：(1)X所取各值的概率； (2)随机变量X的均值与方差.
【导学号：95032199】
[解] (1)P(X＝0)＝
55＝； 3×39
P(X＝1)＝P(X＝2)＝P(X＝4)＝
1×11
＝； 3×391＋12
＝； 3×3911＝. 3×39
(2)X的分布列如下：
X P 0 5 91 1 92 2 94 1 95121所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋4×＝1.
9999
D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＋(4－1)2×＝. [能力提升练]
一、选择题
3
59192919169
1．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布ξ～B(10,0.6)，则E(η)和D(η)的值分别是( )
A．6和2.4 C．2和5.6
B．2和2.4 D．6和5.6
B [由已知E(ξ)＝10×0.6＝6，D(ξ)＝10×0.6×0.4＝2.4. 因为ξ＋η＝8，所以η＝8－ξ.
所以E(η)＝－E(ξ)＋8＝2，D(η)＝(－1)D(ξ)＝2.4.]
2．抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X的均值和方差分别是( )
A.C.
10200
， 3818010， 99
B.D.55100， 98150200， 981
2
225
D [成功次数X服从二项分布，每次试验成功的概率为1－×＝，故在10次试验中，
33955054200
成功次数X的均值E(X)＝10×＝，方差D(X)＝10××＝.]
999981
3．随机变量ξ的分布列如下表，且E(ξ)＝1.1，则D(ξ)＝( )
【导学号：95032200】
ξ 0 1 51 x 3 10P A．0.36 C．0.49
p B．0.52 D．0.68
1
C [先由随机变量分布列的性质求得p＝.
2113
由E(ξ)＝0×＋1×＋x＝1.1，得x＝2.
5210
113222
所以D(ξ)＝(0－1.1)×＋(1－1.1)×＋(2－1.1)×＝0.49.]
5210二、填空题
?1?4．抛掷一枚均匀硬币n(3≤n≤8)次，正面向上的次数ξ服从二项分布B?n，?，若
?2?
P(ξ＝1)＝，则方差D(ξ)＝________.
332
4
n－1
3?1?且P(ξ＝1)＝3，?1?1 [因为3≤n≤8，ξ服从二项分布B?n，?，所以Cn·??232?2??2?3＝， 32
n?1?·?1－??2?
?1?6
即n??＝，解得n＝6，
?2?64
1?1?3
所以方差D(ξ)＝np(1－p)＝6××?1－?＝.] 2?2?2三、解答题
5．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图2-3-1所示．
图2-3-1
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X).
【导学号：95032201】
[解] (1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个．”因此
P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P(A2)＝0.003×50＝0.15， P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.
(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为
3
P(X＝0)＝C03(1－0.6)＝0.064， 2P(X＝1)＝C13·0.6(1－0.6)＝0.288， 2P(X＝2)＝C23·0.6(1－0.6)＝0.432，
5
3
P(X＝3)＝C33·0.6＝0.216，
则X的分布列为
X P 0 0.064 1 0.288 2 0.432 3 0.216 因为X～B(3,0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8， 方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.
6
相关推荐：
loading