《图形的相似与解直角三角形》

(2)在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连结AM，如图2所示：∵∠ACB＝150°，AD21

∴∠AMC＝∠MAC＝15°，tan15°＝tan∠AMD＝＝＝＝2－3≈0.3.

MD4＋232＋3

45??k＋b＝，45??33，21．(1)设直线AD的解析式为y＝kx＋b，将A?33?，D(0，1)代入得：?解??b＝1，1??k＝2，1

得：?故直线AD的解析式为：y＝x＋1；

2

??b＝1.

第21题图

(2)∵直线AD与x轴的交点为(－2，0)，∴OB＝2，∵点D的坐标为(0，1)，∴OD＝1，BD∵y＝－x＋3与x轴交于点C(3，0)，∴OC＝3，∴BC＝5，∵△BOD与△BCE相似，∴

BCBOODOBOD521215＝＝或＝，∴＝＝或＝，∴BE＝25，CE＝5，或CE′＝，BECEBCCE′5BECE5CE′25

3，?. ∴E(2，2)或??2?1

22．(1)在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝20，AB＝10，∴sinC＝，∵PE⊥BC于点E，

2PE11

∴sinC＝＝，∵PC＝x，PE＝y，∴y＝x(0＜x＜20)； (2)存在点P使△PEF是Rt△，

PC221

①如图1，当∠FPE＝90°时，四边形PEBF是矩形，BF＝PE＝x，四边形APEF是平行四

21

边形，PE＝AF＝x，∵BF＋AF＝AB＝10，∴x＝10；②如图2，当∠PFE＝90°时，Rt△

2AFAP1

APF∽Rt△ABC，＝，AF＝40－2x，平行四边形AFEP中，AF＝PE，即：40－2x＝

ACAB2x，解得x＝16；③当∠PEF＝90°时，此时不存在符合条件的Rt△PEF.综上所述，当x＝10或x＝16时，存在点P使△PEF是Rt△.

第22题图

23．(1)(5－t)cm ∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm.∴由勾股定理得：AB＝10cm，∵点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s，∴BP＝2tcm，∴1

AP＝AB－BP＝(10－2t)cm，∵四边形AQPD为平行四边形，∴AE＝AP＝(5－t)cm； (2)

2QAAC2t8

当?AQPD是矩形时，PQ⊥AC，∴PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴＝，即＝，

APAB10－2t102020

解之得：t＝.∴当t＝时，?AQPD是矩形； (3)当?AQPD是菱形时，DQ⊥AP，则cos

995－t4AEAC2525

∠BAC＝＝，即＝，解之得：t＝.∴当t＝时，?AQPD是菱形．

AQAB2t51313

24.

(1) ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，∠BAC＝60°，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝10，BC＝53.由题意知：BM＝2t，CN＝3t，∴BN＝53－3t，∵BM＝BN，∴53

2t＝53－3t，解得：t＝＝103－15. (2)分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，

2＋353－3tMBBN2t53－3t5NBBM

则＝，即＝，解得：t＝.②当△NBM∽△ABC时，则＝，即ABBC102ABBC10532t15515＝，解得：t＝.综上所述：当t＝或t＝时，△MBN与△ABC相似． (3)过M作

72753MDBMMD2t

MD⊥BC于点D，则MD∥AC，∴△BMD∽△BAC，∴＝，即＝，解得：MD

ACAB510113532533

＝t.设四边形ACNM的面积为y，∴y＝×5×53－(53－3t)·t＝t2－t＋＝222222

?t－5?＋753.∴根据二次函数的性质可知，当t＝5时，y的值最小．此时，y最小＝753.

?2?828

2

第24题图