实数
知识点一、【平方根】如果一个数x的平方等于a，那么，这个数x就叫做a的平方根；也即，当x2?a(a?0)时，我们称x是a的平方根，记做：x??a(a?0)。因此：
1、当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；
2、当a＞0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：x??a。 3、当a＜0时，也即a为负数时，它不存在平方根。 例1.
（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ； （2） 的平方根是它本身。
（3）若x的平方根是±2，则x= ；16的平方根是 （4）当x 时，3－2x有意义。
（5）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？这个正数是多少？ 知识点二、【算术平方根】：
1、如果一个正数x的平方等于a，即x2?a，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“a”，
读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。 2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即：a?0(a?0)。
3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平
方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：?a。
例2.
（1）下列说法正确的是 （ ）
A．1的立方根是?1； B．4??2； （C）、81的平方根是?3； （ D）、0没有平方根；
（2）下列各式正确的是（ ）
A、81??9 B、3.14?????3.14 C、?27??93 D、5?3?2 （3）(?3)2的算术平方根是 。
（4）若x??x有意义，则x?1?___________。
（5）已知△ABC的三边分别是a,b,c,且a,b满足a?3?(b?4)2?0，求c的取值范围。 （7）如果x、y分别是4－3 的整数部分和小数部分。求x － y的值. （8）求下列各数的平方根和算术平方根.
49； 0.0004； (－25)2； 11. 1211001.44， 0，8， ， 441， 196， 10－4
4964；
（9）(64)2等于多少？(
492
)等于多少？ 121（10） (7.2)2等于多少？
（11）对于正数a，(a)2等于多少？
我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.加与减互为逆运算，乘与除互为逆运算，乘方与开方互为逆运算.
知识点三、【开平方性质】
(1)4?9=_________，4?9=_________； (2)(2)16?9=_________，16?9=_________； (3)
44=_________，=_________；
99(4)(4)
1616=_________. ?_________，2525
知识点四、【立方根】：
1、如果x的立方等于a，那么，就称x是a的立方根，或者三次方根。记做：3a，读作，3次根号
a。注意：这里的3表示的是根指数。一般的，平方根可以省写根指数，但是，当根指数在两次以上的时候，则不能省略。
2、平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方
根，只有非负数才能有平方根。
例3.
（1）64的立方根是???????????
（2）若3a?2.89,3ab?28.9，则b等于（ ） A. 1000000 B. 1000 C. 10 D. 10000
2（3）下列说法中：①?3都是27的立方根，②3y3?y，③64的立方根是2，④3??8???4。
其中正确的有 （ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 知识点五、【无理数】：
1、无限不循环小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。在初中阶段，无理数的
表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率?以及含有?的一些数，如：2-?，
3?等；（2）开方开不尽的数，如:2,5,39等；（3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：?
2、 有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循
环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
例4.（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③5?7、④π、⑤?2.25、⑥?2 3?,4,32其中无理数有 ( )个
A 2 B 3 C 4 D 5
知识点六、【实数】：
1、有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数
是0，最大的负整数是-1，最小的正整数是1.
2、实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。
3、实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于
负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。
4、实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺
序与有理数的一致。 例5.
（1）下列说法正确的是（ ）；
A、任何有理数均可用分数形式表示 ； B、数轴上的点与有理数一一对应 ； C、1和2之间的无理数只有2 ； D、不带根号的数都是有理数。 （2）①a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )
A、a?b B、ab C、a?b D、b?a
（3）如右图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数是3和-1，则点C所对应的实数是（ ）
?a(a?0)1（a≠0）；实数a的绝对值|a|=?，a?a(a?0)?a 0 b A. 1+3 B. 2+3 C. 23-1 D. 23+1
（4）实数a、b在轴上的位置如图所示，且a?b，则化简a2?a?b的结果为（ ） A．2a?b B.?2a?b C .b D.2a?b a（5）比较大小(填“>”或“<”). 3 10， ?3 3ob20， 76______67，
15?1 ，
22（6）将下列各数：2,3?8,3,?1?5，用“＜”连接起来；______________________________________。 （7）若a?3,b?2，且ab?0，则：a?b= 。 （8）计算：
（9）已知：?x?7??121,?y?1???0.064，求代数式x?2?x?10y?3245y的值。
23基础练习一
一、选择题
23 B.? C.0
2?? D.22
72.下列说法中正确的是（ ）
3.下列语句正确的是（ ）
C.无限小数不能化成分数 D.无限不循环小数是无理数
34.在直角△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=2，则AB为（ ）
2A.整数 B.分数 C.无理数 D.不能确定
5.面积为6的长方形，长是宽的2倍，则宽为（ ） A.小数 B.分数 C.无理数 D.不能确定 6.(?2)2的化简结果是（ ） A.2
B.－2 C.2或－2 D.4
7.9的算术平方根是（ ） A.±3 B.3 C.±3 D. 3 8.(－11)2的平方根是 A.121 B.11 C.±11 D.没有平方根 9.下列式子中，正确的是（ ）
A.?5??5
B.－3.6=－0.6 C.(?13)2=13
7D.36=±6
410.7－2的算术平方根是（ ） A.1
B.7 C.1 D.4
11.16的平方根是（ ） A.±4 B.24 C.±2 D.±2 12.一个数的算术平方根为a，比这个数大2的数是（ ）
A.a+2 B.a－2 C.a+2 D.a2+2
13.下列说法正确的是（ ）
A.－2是－4的平方根 B.2是(－2)2的算术平方根 C.(－2)2的平方根是2 D.8的平方根是4 14.16的平方根是（ ） A.4 15.9?16的值是（ ） A.7
B.－4 C.±4 D.±2 B.－1 C.1
D.－7
16.下列各数中没有平方根的数是（ ）A.－(－2)3 17.a2等于（ ） A.a
B.3－3 C.a0 D.－（a2+1）
B.－a C.±a D.以上答案都不
对 18.如果a(a＞0)的平方根是±m，那么（ ）
A.a2=±m B.a=±m2 C.a=±m 19.若正方形的边长是a,面积为S，那么（ ）
A.S的平方根是a 二、填空题
1.在0.351， －2，4.969696………中，无理数的个数有______.
3 D.±a=±m
B.a是S的算术平方根 C.a=±S D.S=a 2.______小数或______小数是有理数，______小数是无理数.
3.x2=8,则x______分数，______整数，______有理数.(填“是”或“不是”)
4.面积为3的正方形的边长______有理数；面积为4的正方形的边长______有理数.(填“是”或“不是”)
14 5.的平方根是_________； 6.(－)2的算术平方根是_________；
4121 7.一个正数的平方根是2a－1与－a+2，则a=_________，这个正数是_________； 8.25的算术平方根是_________； 9.9－2的算术平方根是_________；
10.4的值等于_____，4的平方根为_____； 11.(－4)2的平方根是____，算术平方根是_____. 三.判断题
1.－0.01是0.1的平方根.( )
2
2.－5的平方根为－5.（ ） 3.0和负数没有平方根.（ ） 4.因为
1111的平方根是±,所以=±.（ ）
164416 5.正数的平方根有两个，它们是互为相反数.（ ）
四、解答题
??2 1.已知：在数－3，－1.42,π,3.1416,,0,42,(－1)2n…中，
34（1）写出所有有理数； （2）写出所有无理数；
2.要切一块面积为36 m2的正方形铁板，它的边长应是多少？ 3.已知某数有两个平方根分别是a+3与2a－15,求这个数.
分母有理化
1．分母有理化
定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：
①单项二次根式：利用a?a?a来确定，如：a与a，a?b与a?b，a?b与a?b等分别互为有理化因式。
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