专题3.2 复杂数列的求和问题
一．方法综述
数列的求和问题是数列高考中的热点问题， 数列的求和问题会渗透多种数学思想，会跟其他知识进行结合进行考查.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数列求和中的新定义问题、子数列中的求和问题、奇偶性在数列求和中的应用、周期性在数列求和中的应用、数列求和的综合问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析. 二．解题策略
类型一 数列求和中的新定义问题
【例1】【2018届广东省中山市第一中学高三月考】定义
np1?p2?pn为n个正数p1， p2， ， pn的“均倒数”，若已知数列?an?的前
n项的“均倒数”为
a?11，又bn?n，则
2n?14111???b1b2b2b3b3b4A.
?1b201b7 ?（ ）
20182015201620171 B. C. D. 2016201720182017
所以
111???b1b2b2b3b3b4?1?1??11???1???????b2017b2018?2??23?1?12017?1????1??， ?2017201820182018?? 1
故选C． 【答案】C
【指点迷津】1.“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 2.解决此类问题的一些技巧：
（1）此类问题在设立问题中通常具有“环环相扣，层层递进”的特点，第（1）问让你熟悉所创设的定义与背景，第（2），（3）问便进行进一步的应用，那么在解题的过程中要注意解决前面一问中的过程与结论，因为这本身就是对“新信息”的诠释与应用.抓住“新信息”的特点，找到突破口，第（2）（3）问便可寻找到处理的思路
（2）尽管此类题目与传统的数列“求通项，求和”的风格不同，但其根基也是我们所学的一些基础知识与方法.所以在考虑问题时也要向一些基本知识点靠拢，弄清本问所考察的与哪个知识点有关，以便找到一些线索.
（3）在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则，以相对简单的情况入手，可能在解决的过程中会发现复杂情况与该情况的联系，或者发现一些通用的做法与思路，使得复杂情况也有章可循.
1n【举一反三】【2018安徽省巢湖市柘皋中学第三次月考】已知数列?an?的前n项和为Sn，定义?Si为
ni?1数列?an?前n项的叠加和，若2016项数列a1,a2,a3,的叠加和为( )
A. 2017 B. 2018 C. 2017 D. 2018
22则2017项数列1,a1,a2,a2016的叠加和为2017，a2016
故选A． 【答案】A
2
类型二 子数列中的求和问题
【例2】【河南省南阳市2018届高三上学期期中质量评估】已知有穷数列?an?中， n?1,2,3,且an??2n?1???1?n?1,729，
，从数列?an?中依次取出a2,a5,a14,构成新数列?bn?，容易发现数列?bn?是以-3
为首项，-3为公比的等比数列，记数列?an?的所有项的和为S，数列?bn?的所有项的和为T，则（ ） A. S?T B. S?T C. S?T D. S与T的大小关系不确定 【
解
析
n?1】
n因为
s?1?3?5?7???2?729?1??1?2?728?7292，
bn???3???3?所以T????3??729?2?1，所以n?6，当n?6时， b6?729是an中第365项，符合题意，
6??3?1???3?1???3????546,所以S?T，选A.
【答案】A
【指点迷津】一个数列中某些项的求和问题，关键在于弄清楚新的数列的形式，了解其求和方法. 【举一反三】【安徽省淮南市第二中学、宿城第一中学2018届高三第四次考试】已知n?N，集合
*?135Mn??,,,?248,2n?1??，集合Mn的所有非空子集的最小元素之和为Tn，则使得Tn?80的最小正整数n2?n的值为（ ）
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
753n2?1n2?12n?12n?3......??2????80 的最小正整数n为13 ∴Tn=S1+S2+S3+…+Sn=+则
2224422故选B 【答案】B
3
类型三 奇偶性在数列求和中的应用
【例3】【江苏省淮安中学2018届高三数学月考】已知函数f?n??ncos?n??，且an?f?n??fn??1?，
2则a1?a2?a3?? a100?__________．
2222【解析】n为偶数时， an?n??n?1???2n?1 ； n为奇数时， an??n??n?1??2n?1 ；
a1?a2?a3?【答案】-100
? a100? 3?5?7?9??199?201??2?50??100
【指点迷津】数列求和中遇到(?1)n，sinn?，cosn?都会用到奇偶性，进行分类讨论.再采用分组转化法求和或者并项求和的方法，即通过两个一组进行重新组合，将原数列转化为一个等差数列. 分组转化法求和的常见类型还有分段型（如an?{n,n为奇数2n,n为偶数 ）及符号型（如an???1?n2 ）
n【举一反三】【黑龙江省大庆实验中学2018届高三上学期期中考试】设数列?an?的前n项和为Sn,已知
a2?2,an?2???1?n?1an?1,则S40?______
【答案】240
类型四 周期性在数列求和中的应用
【例4】【2018陕西西安长安区五中二模】数列?an?满足an?1??2sin???n??1?an?2n，则数列?an?的前2?100项和为__________．
4
【答案】5100
【指点迷津】本题主要考查数列的周期性，数列是定义域为正整数集或它的子集的函数，因此数列具有函数的部分性质，本题观察到条件中有sinn?? ，于是考虑到三角函数的周期性，构造f?n??sin?n，周22期为4，于是研究数列中依次4项和的之间的关系，发现规律，从而转化为熟悉的等差数列求和问题.解决此类问题要求具有观察、猜想、归纳能力，将抽象数列转化为等差或等比数列问题. 【举一反三】已知数列??n?满足a1?1,a2?2,an?2??1?cos2为__________．
【解析】n为奇数时， cos??n?2?2n?a?sin,则该数列的前21项的和?n2?n?n??0，sin2?1； 22n?n??1，sin2?0； n为偶数时， cos2222所以n为奇数时有an?2?an?1； n为偶数时an?2?2n; 即奇数项为等差数列，偶数项为等比数列. 所以
S21??a1?a3?a5?a21???a2?a4?a6?a20???1?2?3??11??2?2?2??210?1021?1122?1???6?11?211?2?211222?1??.
【答案】2112
类型五 数列求和的综合问题
5
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