【答案】5100
【指点迷津】本题主要考查数列的周期性，数列是定义域为正整数集或它的子集的函数，因此数列具有函数的部分性质，本题观察到条件中有sinn?? ，于是考虑到三角函数的周期性，构造f?n??sin?n，周22期为4，于是研究数列中依次4项和的之间的关系，发现规律，从而转化为熟悉的等差数列求和问题.解决此类问题要求具有观察、猜想、归纳能力，将抽象数列转化为等差或等比数列问题. 【举一反三】已知数列??n?满足a1?1,a2?2,an?2??1?cos2为__________．
【解析】n为奇数时， cos??n?2?2n?a?sin,则该数列的前21项的和?n2?n?n??0，sin2?1； 22n?n??1，sin2?0； n为偶数时， cos2222所以n为奇数时有an?2?an?1； n为偶数时an?2?2n; 即奇数项为等差数列，偶数项为等比数列. 所以
S21??a1?a3?a5?a21???a2?a4?a6?a20???1?2?3??11??2?2?2??210?1021?1122?1???6?11?211?2?211222?1??.
【答案】2112
类型五 数列求和的综合问题
5
【例5】【2017届陕西省西安市铁一中学高三上学期第五次模拟】数列?an?满足
a1?411,an?1?an2?an?1n?N*，则??3a1a2???1a2017的整数部分是__________．
【答案】2
【指点迷津】本题考查了数列的综合应用问题，其中解答中涉及到数列的通项公式，数列的裂项求和，数列的单调性的应用等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的借助数列递推关系，化简数列为
1an?1?1?11?，再借助an?1an数列的单调性是解答的关键.
【举一反三】【2017福建外国语学校高三月考】已知数列?xn?满足xn?2?|xn?1?xn|（n?N*），若x1?1，
x2?a（a?1，a?0），且xn?3?xn对于任意正整数n均成立，则数列?xn?的前2015项和S2015的值
为 ．（用具体的数字表示）
6
【答案】1344 三．强化训练
1．【江西省新余市第一中学2017届高三高考全真模拟考试】数列?an?是以a为首项， q为公比的等比数列
，
数
列
?bn?满足
bn?1?a1?a2??an?n?1,2,?，数列
?cn?满足
cn?2?b1?b2??bn?n?1,2,?，若?cn?为等比数列，则a?q?（ ）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】B
n?1【解析】由题意，
an?ab，则
bn?1?a1?bn1?b???1?aabn?1?b1?b，得
na?ab1?bab1?b?aabn?1??n?Cn?2???1? ?2?,要使?Cn?为等比数列，必有?n?221?b?1b?b1?1?b??1?b??1?b???2?{ab?1?b?2?0，得{a?11?b?a?01?bb?2,a?b?3，故选B.
2.【江西省赣州市南康中学2018届高三月考】已知数列： 1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,...，即此数列第一项是2，接下来两项是2,2，再接下来三项是2,2,2，依此类推，……，设Sn是此数列的前n项的和，则S2017?（ ）
A. 2?2 B. 2?2 C. 2?2 D. 2?2 【答案】A
【解析】将数列分组：第一组有一项2；第二组有二项2+2；第n项有n项2+2?200010126466366456350101n?1?2n?1，前637
项组共有
6?364?2016，2
?S2017?20?20+21?...?20+21?...?22015?20
?????21?1?22?1?...?263?1?20???????2?22?...?263??1+1+1...?1??1
???21?2631?2???62?264?64?264?26，故选A.
3.【2017届黑龙江省哈尔滨市第九中学高三二模】已知数列?an?的通项公式为
an???1??2n?1??cosnn??1n?N*，其前n项和为Sn，则S60?（ ） 2??A. ?30 B. ?60 C. 90 D. 120 【答案】D
4.【福建省福州第一中学2017届高三5月质检】已知数列满足，（，
），则的整数部分是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】
a1?11?11?1?11?11,a2?,an?1?2an?an?1 ，所以可得 ????????，22ai?1ai?12ai?ai?1ai?1?2?ai?1aiaiai?1? 8
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