第5－8课时课题：数列问题的题型与方法 一．复习目标：
能灵活地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式解题； 2．能熟练地求一些特殊数列的通项和前n项的和；
3．使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；
4．通过解决探索性问题，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．
5．在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力．
6．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．
二．考试要求：
1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。
2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题。
3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题。
4．数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决。 三．教学过程： （Ⅰ）基础知识详析
1．可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质. 2．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法： (1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证(2)通项公式法： ①若②若
(3)中项公式法：验证3.在等差数列
=
+（n-1）d=
+（n-k）d，则，则
an?an?1(an/an?1)为同一常数。
?an?为等差数列；
?an?为等比数列。
都成立。
?an?中,有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解：
(1)当
a1?0,d<0时，满足的项数m使得
Sm取最大值.
(2)当
a1?0,d>0时，满足的项数m使得
Sm取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
4.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。 5．注意事项： ⑴证明数列
?an?是等差或等比数列常用定义，即通过证明an?1?an?an?an?1或
an?1a?nanan?1而得。
⑵在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便。
⑶对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。 ⑷注意一些特殊数列的求和方法。 ⑸注意
sn与
an之间关系的转化。如：
nn?1a?(ak?ak?1)ansn?sn?1,n?2an1?k?2=，=．
s1,⑹数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路．
⑺解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．
⑻通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力． （Ⅱ）范例分析
例1．已知数列{an}是公差d≠0的等差数列，其前n项和为Sn．
(2)过点Q1(1，a1)，Q2(2，a2)作直线12，设l1与l2的夹角为θ，证明：(1)因为等差数列{an}的公差d≠0，所以
Kp1pk是常数(k=2，3，…，n)．
(2)直线l2的方程为y-a1=d(x-1)，直线l2的斜率为d．
例2．已知数列⑴设数列
?an?中，Sn是其前n项和，并且Sn?1?4an?2(n?1,2,，求证：数列
),a1?1，
bn?an?1?2an(n?1,2,??)?bn?是等比数列；
⑵设数列⑶求数列
cn?an,(n?1,2,??)?c?2n，求证：数列n是等差数列；
?an?的通项公式及前n项和。
分析：由于{bn}和{cn}中的项都和{an}中的项有关，{an}中又有Sn?1=4an+2，可由Sn?2-Sn?1作切入点探索解题的途径． 解：(1)由Sn?1=4an?2，Sn?2=4an?1+2，两式相减，得Sn?2-S
n?1=4(an?1-a
n)，即
an?2=4an?1-4an．(根据bn的构造，如何把该式表示成bn?1与bn的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)
an?2-2an?1=2(an?1-2an)，又bn=an?1-2an，所以bn?1=2bn ① 已知S2=4a1+2，a1=1，a1+a2=4a1+2，解得a2=5，b1=a2-2a1=3 ② 由①和②得，数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列，故bn=3·2
n?1．
当n≥2时，Sn=4an?1+2=2
n?1(3n-4)+2；当n=1时，S1=a1=1也适合上式．
n?1综上可知，所求的求和公式为Sn=2(3n-4)+2．
说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前n项和。解决本题的关键在于由条件
Sn?1?4an?2得出递推公式。
2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．
例3．已知数列{an}是首项a1＞0，q＞-1且q≠0的等比数列，设数列{bn}的通项bn=an?1-kan?2(n∈N)，数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn，Tn．如果Tn＞kSn对一切自然数n都成立，求实数k的取值范围． 分析：由探寻Tn和Sn的关系入手谋求解题思路。
解：因为{an}是首项a1＞0，公比q＞-1且q≠0的等比数列，故 an?1=an·q，an?2=an·q．
所以 bn=an?1-kan?2=an(q-k·q)． Tn=b1+b2+…+bn=(a1+a2+…+an)(q-k·q)=Sn(q-kq)．
依题意，由Tn＞kSn，得Sn(q-kq)＞kSn， ①对一切自然数n都成立． 当q＞0时，由a1＞0，知an＞0，所以Sn＞0；
22222当-1＜q＜0时，因为a1＞0，1-q＞0，1-q＞0，所以Sn=综合上面两种情况，当q＞-1且q≠0时，Sn＞0总成立． 由
n
①式可得q-kq
2＞k ②，
例4．( 全国理)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展
1旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少5.本年度当地旅游
业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会
1比上年增加4。(Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元.
写出an，bn的表达式(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入? 解析：第1年投入800万元，第2年投入800×（1-）万元……， 第n年投入800×（1－）n－1万元
所以总投入an＝800＋800（1－）＋……＋800×（1－）n－1＝4000［1－（同理：第1年收入400万元，第2年收入400×（1＋第n年收入400×（1＋bn＝400＋400×（1＋
）n－1万元 ）＋……＋400×（1＋
）n－1＝1600×［（
）n］＞0
）n－1］
）万元，……，
）n］
(2)∴bn－an＞0，1600［（化简得，5×（
）n＋2×（
）n－1］－4000×［1－（）n－7＞0
设x＝（）n，5x2－7x＋2＞0∴x＜，x＞1（舍)即（）n＜，n≥5.
说明：本题主要考查建立函数关系式，数列求和，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识解决实际问题的能力。解数学问题应用题重点在过好三关：（1）事理关：阅读理解，知道命题所表达的内容；（2）文理关：将“问题情景”中的文字语言转化为符号语言，用数学关系式表述事件；（3）数理关：由题意建立相关的数学模型，将实际问题数学化，并解答这一数学模型，得出符合实际意义的解答。
?a?例5．设实数a?0，数列n是首项为a，公比为?a的等比数列，记
bn?an1g|an|(n?N*),Sn?b1?b2???bn，
algaS求证：当a??1时，对任意自然数n都有n=(1?a)解：
2?1?(?1)n?1(1?n?na)an
?an?a1qn?1?a(?a)n?1?(?1)n?1an。
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