2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心考点·精准研析+8.2 等差数列及其前n项和

核心考点·精准研析

考点一 等差数列的基本运算

1.在等差数列{an}中,a1+a5=8,a4=7,则a5= ( ) A.11 B.10 C.7 D.3

2.已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和,若S8=4S4,则a10= ( )

A. B. C.10 D.12

3.(2020·沈阳模拟)在等差数列{an}中,若Sn为前n项和,2a7=a8+5,则S11的值是 ( )

A.55 B.11 C.50 D.60

4.(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则 ( )

A.an=2n-5 B.an=3n-10 C.Sn=2n2-8n D.Sn=n2-2n

5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=________. 【解析】1.选B.设等差数列{an}的公差为d,则有

解得

所以a5=-2+4×3=10.

2.选B.由公差为1得S8=8a1+S8=4S4,所以8a1+28

×1=8a1+28,S4=4a1+6.因为

=4(4a1+6),解得a1=,所以a10=a1+9d=+9=.

3.选A.设等差数列{an}的公差为d,由题意可得2(a1+6d)=a1+7d+5,得a1+5d=5,则S11=11a1+

d=11(a1+5d)=11×5=55.

4.选A.设该等差数列{an}的公差为d,由题知,

解得

所以an=2n-5.

5.由Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3得am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,所以等差数列的公差d= am+1-am=3-2=1,

由得

解得

答案:5

第3题中若将条件“2a7=a8+5”改为“a9=a12+6”,其他条件

不变,则数列{an}的前11项和S11等于________.

【解析】S11==11a6,

设公差为d,由a9=a12+6 得a6+3d=(a6+6d)+6,

解得a6=12,所以S11=11×12=132. 答案:132

等差数列运算问题的通性方法

1.等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.

2.等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题. 【秒杀绝招】 1.应用性质解T1

由等差数列的性质得a1+a5=2a3=8,所以a3=4,故d=a4-a3=3.所以 a5=a4+d=10.

2.应用变形公式解T3

设等差数列{an}的公差为d,由2a7=a8+5,得2(a6+d)=a6+2d+5,得a6=5,所以S11=11a6=55. 3.应用排除法解T4 对于B,a5=5,S4=

=-10≠0,排除B,对于C,S4=0,a5=S5-S4=2×52-8

×5-0=10≠5,排除C.

对于D,S4=0,a5=S5-S4=×52-2×5-0=2.5≠5,排除D,故选A. 考点二 等差数列的判定与证明

【典例】1.(2020·贵阳模拟)已知数列{an}满足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n. (1)求a2,a3; (2)证明数列【解题导思】 序号 题目拆解 ①a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n 代入n=1得a2 (1) ②由a2及nan+1-(n+1)an=2n2+2n 代入n=2得a3 nan+1-(n+1)an=2n2+2n变形为是等差数列,并求{an}的通项公式.

nan+1-(n+1)an=2n(n+1),结合所求结①nan+1-(n+1)an=2n2+2n (2) 论,式子两边同除以n(n+1),证明数列是等差数列 根据数列②数列是等差数列 通项公式 【解析】(1)由已知,得a2-2a1=4, 则a2=2a1+4,又a1=1,所以a2=6.

由2a3-3a2=12,得2a3=12+3a2,所以a3=15.

是等差数列写出{an}的