高中数学讲义
板块四.垂直关系的判断与证
明
典例分析
【例1】 下列说法正确的有 ．
①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．
②若一条直线与平面内无数条直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．
③若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线．
④若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必平行于这个平面． ⑤若一条直线平行于一个平面，则它和这个平面内的任何直线都不垂直． ⑥平行于同一个平面的两条直线可能垂直．
【例2】 在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有 个．
【例3】 已知在三棱锥A?BCD中AC?AD，BD?BC，求证：AB⊥CD．
A
CEDB
PC．
【例4】 如图，已知三棱锥P?ABC，?ACB?90，D为AB的中点，且?PDB是正三角形，PA⊥
求证：⑴ PA⊥面PBC；⑵平面PAC⊥平面ABC．
PCADB
思维的发掘 能力的飞跃
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【例5】 如图，ABCD是正方形，SA垂直于平面ABCD，过A且垂直于SC的平面交SB、SC、SD 分
别于点E、F、G，求证：AE?SB，AG?SD．
SFGDEABC
【例6】 如图，在四棱锥P?ABCD中，PA?底面ABCD，AB?AD，AC?CD，?ABC?60°，
PA?AB?BC，E是PC的中点．证明：面ABE⊥面PCD．
【例7】 如图，四面体P?ABC，PA⊥面ABC，AB⊥BC，过A作AE⊥PB交PB于E，过A作
AF ⊥PC交PC于F．求证：PC⊥EF． PFECB
A
??平面AD?C． 【例8】 如图O是正方体下底面ABCD中心，B?H?D?O，H为垂足．求证：BH
【例9】 如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中．．求证：BD1⊥面AB1C．
D1A1B1C1DABC
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思维的发掘 能力的飞跃
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【例10】 在长方体ABCD?A1B1C1D1中，点E，F分别在AA1，CC1上且BE?A1B，BF?BC1，求证：
BD1?面BEF
【例11】 在正方体ABCD?A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心．求证：B1O⊥面
PAC．
【例12】 在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，M，N分别为PC，AB的
中点．⑴求证：MN∥平面PAD；⑵若?PDA?45，求证：MN⊥面PCD．
PMCNBQDA
CC1⊥BD．【例13】 已知平行六面体ABCD?A1B1C1D1的底面是菱形，且?A1AB??A1AD?60．求证：
D1A1B1C1DAOBC
【例14】 （2008深圳高三联考）如图，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件
?B1D1．时，有AC（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形） 1A1B1C1ABDCD1
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【例15】 如图，A、B、C、D是空间四点，在△ABC中，AB?2，AC?BC?2，等边△ADB所
在的平面以AB为轴可转动．当△ADB转动过程中，是否总有AB?CD？请证明你的结论
AOCBD
【例16】 在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M是AA1的中点，问当点N位于AB上何处时，MN?MC1？
【例17】 如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?BC?1，?ACB?90?，AA1?2，D是A1B1的中点．
⑴求证C1D?平面A1B；
⑵当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1?平面C1DF？并证明你的结论．
CABEA1DB1FC1
【例18】 （2000全国，文19）
如图已知平行六面体ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且?C1CB??C1CD??BCD． ⑴ 证明C1C?BD；
CD?平面C1BD？请给出证明． ⑵ 当的值为多少时，能使AC1CD1B1C1D1A1BCD图 9-2-284A
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【例19】 已知四面体ABCD， 高中数学讲义
①若棱AB?CD，求证AC2?BD2?AD2?BC2
②若AC2?BD2?AD2?BC2，求证棱AB?CD．
F分别为AC，PC的中点，【例20】 已知三棱锥P?ABC中，PC?底面ABC，AB?BC，D，DE?AP于E．
⑴求证：AP?平面BDE；
⑵求证：平面BDE?平面BDF；
⑶若AE:EP?1:2，求截面BEF分三棱锥P?ABC所成两部分的体积比．
【例21】 （2009扬州中学高三期末）
在四棱锥P?ABCD中，?ABC??ACD?90?，?BAC??CAD?60?，PA?平面ABCD，E为PD的中点，PA?2AB?2． ⑴求四棱锥P?ABCD的体积V；
⑵若F为PC的中点，求证PC?平面AEF．
【例22】 （2003京皖春）
F分别为棱如图所示，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面边长为22，侧棱长为4．E，AB，BC的中点，EFBD?G．
⑴求证：平面B1EF?平面BDD1B1； ⑵求点D1到平面B1EF的距离d； ⑶求三棱锥B1?EFD1的体积V．
D1A1B1C1DGAEBFC
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