高中数学讲义
板块四.垂直关系的判断与证
明
典例分析
【例1】 下列说法正确的有 .
①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.
②若一条直线与平面内无数条直线垂直,则这条直线与这个平面垂直.
③若一条直线平行于一个平面,则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线.
④若一条直线垂直于一个平面,则垂直于这条直线的另一条直线必平行于这个平面. ⑤若一条直线平行于一个平面,则它和这个平面内的任何直线都不垂直. ⑥平行于同一个平面的两条直线可能垂直.
【例2】 在空间四面体的四个面中,为直角三角形的最多有 个.
【例3】 已知在三棱锥A?BCD中AC?AD,BD?BC,求证:AB⊥CD.
A
CEDB
PC.
【例4】 如图,已知三棱锥P?ABC,?ACB?90,D为AB的中点,且?PDB是正三角形,PA⊥
求证:⑴ PA⊥面PBC;⑵平面PAC⊥平面ABC.
PCADB
思维的发掘 能力的飞跃
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【例5】 如图,ABCD是正方形,SA垂直于平面ABCD,过A且垂直于SC的平面交SB、SC、SD 分
别于点E、F、G,求证:AE?SB,AG?SD.
SFGDEABC
【例6】 如图,在四棱锥P?ABCD中,PA?底面ABCD,AB?AD,AC?CD,?ABC?60°,
PA?AB?BC,E是PC的中点.证明:面ABE⊥面PCD.
【例7】 如图,四面体P?ABC,PA⊥面ABC,AB⊥BC,过A作AE⊥PB交PB于E,过A作
AF ⊥PC交PC于F.求证:PC⊥EF. PFECB
A
??平面AD?C. 【例8】 如图O是正方体下底面ABCD中心,B?H?D?O,H为垂足.求证:BH
【例9】 如图所示,在正方体ABCD?A1B1C1D1中..求证:BD1⊥面AB1C.
D1A1B1C1DABC
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【例10】 在长方体ABCD?A1B1C1D1中,点E,F分别在AA1,CC1上且BE?A1B,BF?BC1,求证:
BD1?面BEF
【例11】 在正方体ABCD?A1B1C1D1中,P为DD1的中点,O为底面ABCD的中心.求证:B1O⊥面
PAC.
【例12】 在四棱锥P?ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,M,N分别为PC,AB的
中点.⑴求证:MN∥平面PAD;⑵若?PDA?45,求证:MN⊥面PCD.
PMCNBQDA
CC1⊥BD.【例13】 已知平行六面体ABCD?A1B1C1D1的底面是菱形,且?A1AB??A1AD?60.求证:
D1A1B1C1DAOBC
【例14】 (2008深圳高三联考)如图,在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中,当底面四边形ABCD满足条件
?B1D1.时,有AC(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形) 1A1B1C1ABDCD1
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【例15】 如图,A、B、C、D是空间四点,在△ABC中,AB?2,AC?BC?2,等边△ADB所
在的平面以AB为轴可转动.当△ADB转动过程中,是否总有AB?CD?请证明你的结论
AOCBD
【例16】 在正方体ABCD?A1B1C1D1中,M是AA1的中点,问当点N位于AB上何处时,MN?MC1?
【例17】 如图,直三棱柱ABC?A1B1C1中,AC?BC?1,?ACB?90?,AA1?2,D是A1B1的中点.
⑴求证C1D?平面A1B;
⑵当点F在BB1上什么位置时,会使得AB1?平面C1DF?并证明你的结论.
CABEA1DB1FC1
【例18】 (2000全国,文19)
如图已知平行六面体ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且?C1CB??C1CD??BCD. ⑴ 证明C1C?BD;
CD?平面C1BD?请给出证明. ⑵ 当的值为多少时,能使AC1CD1B1C1D1A1BCD图 9-2-284A
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【例19】 已知四面体ABCD, 高中数学讲义
①若棱AB?CD,求证AC2?BD2?AD2?BC2
②若AC2?BD2?AD2?BC2,求证棱AB?CD.
F分别为AC,PC的中点,【例20】 已知三棱锥P?ABC中,PC?底面ABC,AB?BC,D,DE?AP于E.
⑴求证:AP?平面BDE;
⑵求证:平面BDE?平面BDF;
⑶若AE:EP?1:2,求截面BEF分三棱锥P?ABC所成两部分的体积比.
【例21】 (2009扬州中学高三期末)
在四棱锥P?ABCD中,?ABC??ACD?90?,?BAC??CAD?60?,PA?平面ABCD,E为PD的中点,PA?2AB?2. ⑴求四棱锥P?ABCD的体积V;
⑵若F为PC的中点,求证PC?平面AEF.
【例22】 (2003京皖春)
F分别为棱如图所示,正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中,底面边长为22,侧棱长为4.E,AB,BC的中点,EFBD?G.
⑴求证:平面B1EF?平面BDD1B1; ⑵求点D1到平面B1EF的距离d; ⑶求三棱锥B1?EFD1的体积V.
D1A1B1C1DGAEBFC
思维的发掘 能力的飞跃
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