2010年“学而思杯”初二数学B卷试题(含答案)

I 卷

一、填空题(60分，共计15题，每小题4分)

1. (方法1)设a?2?3?4?1112009?12010，

则原式?11111a?1??????1.

1aa1?aaaa?1a?1(方法2)设a?3?4?112009?12010，

则原式?12?1a?1?111?1a?11aa?1????1． 2a?112a?12a?11?a?1aa 2.

x?112x?1?4x?1111?4x?1??4x?2?24x?1?(4x?1?1)2?2222224x?1?1，

当x?

111时，原式为(4x?1?1)?(4x?1?1)?1. 4223. m?n?p?15，根据三角形三边关系定理可知p?m?n，即p?p?m?n?p， 2p?15，p?15. 21515?5，从而5≤p?， 32而p为最大边，故p≥而p为自然数，故p?5，6，7. 若p?5，则m?n?5.

若p?6，当n?6时，m?3；当n?5时，m?4.

若p?7，当n?7时，m?1；当n?6时，m?2；当n?5时，m?3；当n?4时，m?4. 综上所述，以m、n、p为三边长的三角形共有7个.、

4. 因为n(n?1)1?11222222??n(n?1)?(n?1)?n?n(n?1)?2n(n?1)?1?n(n?1)?1， n2(1?n)2所以1?11n(n?1)?111???1??. 22n(1?n)n(n?1)nn?1111111所以原式=(1??)?(1??)?(1??)?122334 ?2009?1?

5. 因为(x?x2?2010)(y?y2?2010)?2010，

?(1?11?) 2009201012009. ?2009201020102010(x2?2010?x)故y?y?2010???x2?2010?x，

2010(x?x2?2010)22010同理x?x2?2010?y2?2010?y. 两式相加可得x?y?0.

从而x2?3xy?4y2?6x?6y?(x?y)(x?4y)?6(x?y)?0.

6. 乙一定能获胜，因为甲无论怎样取，余下的火柴数总不是3的倍数，这时乙便可通过选择1根或2

根使得余下的火柴是3的倍数，于是甲只能再使火柴数不是3的倍数，乙又可使它是3的倍数，因为0是3的倍数，故甲总不可能获胜，又游戏显然要在若干步后终止，故乙将获得胜利. 7. 设a?b?x,b?c?y,c?a?z，则已知条件化为x2?y2?z2?(z?x)2?(x?y)2?(y?z)2，

展开并化简可得x2?y2?z2?2xy?2yz?2zx?0. 又x?y?z?a?b?b?c?c?a?0， 故x2?y2?z2?2xy?2yz?2zx?0．

从而x2?y2?z2?0?x?y?z?0?a?b?c． 于是可得

(bc?1)(ca?1)(ab?1)?1． 222(a?1)(b?1)(c?1)8. 当y?z时，a?b?b?c?????x?y?y?z?z?a，当z?9，a?1时取得最大值8.

当y?z时，a?b?b?c?????x?y?y?z?2y?a?z， 当y?9，a?1，z?0时取得最大值17．

所以a?b?b?c?????x?y?y?z的最大值是17．

9. 不妨设a≤b≤c，因为a、b、c是三角形的三边， 故当a?1时，b?c?5，此时abc?25. 当a?2时，b?4，c?5，abc?40.

当a?3时，b?3，c?5，abc?45；或者b?c?4，abc?48. 综上可知(abc)min?25，此时S?

4xyt2yt?2xx?3y， ????x?y2xx?yt?2xy?xt?2yy?3x 同理可得， ?t?2yx?yt?2xt?2yx?3yy?3x2y?2x 故?????2．

t?2xt?2yy?xx?yy?x311. 410. t?11. 如图所示，连接AC、DP.易证S△DCP?S△ACP，

DC1S△ADP?S△DCP?S△ABP?SABCD，

2从而可得

C'B'D'ABP1AP?(BB??CC??DD?)?1， 22. AP则BB??CC??DD??而1≤AP≤2，故当P与B重合时，有最大值2； 当P与C重合时，有最小值2. 故2≤BB??CC??DD?≤2.

010?x?(200912. 注意到x?2010≥0，故2则x?2009?x0?，)?200x9?，从而x?20092?2010.

13. 令k?1，得y?x?2；令k?2，得y?2x?6.联立解得x?4，y?2，故定点为(4，2). 14. 4. 15. S1?S2.

Ⅱ卷

二、解答题(40分，共计4题)

16. 因为y?2x2?2x?1?2x2?(3?1)x?1?2x2?(3?1)x?1 321321)?(x?)2?(x?)?(x?)2， 2222 ?x2?(x?1)2?(x?则对于点T(x，x)，A(0，1)，B(3311，?)，C(?，?)，可知y?TA?TB?TC. 2222A12P22D容易验证△ABC是中心为O(0，0)、边长为3的等边三角形.根据费马点原理，当T在O点处时、

TA?TB?TC有最小值，ymin?3.

17. 数形结合画出绝对值函数的图象，可得a≤?2或a≥2. 18. 如图所示，将△PAD旋转到△P'CD的位置，

然后可证A、P、C共线， 进而可得所求面积为2?3. 2B3P'C 19. (1) 首先，方程的根不可能是奇数.事实上，若x为奇数，则x2为奇数，而2px?2q是偶数，因此

x2?2px?2q取奇数值，不可能是0.

(2) 其次，方程的根不可能是偶数.事实上，若x为偶数，则x2?2px能被4整除，而这时常数项2q

被4除时余2，因此x2?2px?2q?0.

(3) 最后，方程的根不可能是分数.事实上，若x为分数，则x?p也是分数，而方程可以变为

(x?p)2?p2?2q.等号右端的p2?2q是一个整数，左端是一个分数，这是一个矛盾！

综上可知，当p、q是两个奇数时，方程x2?2px?2q?0不可能有有理根.

20.附加题：

本题的操作中变化的量很多，若不能抓住其万变之“宗”，便很难下手.经过观察与试验，我们发现它的不变量是平方和.

由于a2?b2?(a?b)2?(ab)2?(ab)2，所以黑板上所有数的平方和是始终不变的.而一开始时，所有数的平方和为

1112?22?32?…?20002??2000?2001?4001??2000?2000?4000?2.66666?5002×10000.

?109?2.5?109因此，黑板上不能是10000个小于500的数.