常微分方程第2章第3节教案

§2.3 恰当微分方程与积分因子

一、恰当微分方程

定义：如果对称形式的一阶微分方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0（*）的左端恰好是某个二元函数u(x,y)的全微分，即M(x,y)dx?N(x,y)dy?du(x,y)??u?udx?dy，则称?x?yM(x,y)dx?N(x,y)dy?0为恰当（微分）方程,或全微分方程. u(x,y)称为微分式

M(x,y)dx?N(x,y)dy的原函数.

这里假设M(x,y),N(x,y)在某区域G内是x,y的连续函数，而且具有连续的一阶偏导数.

例如：xdx?ydy?0，xdx?ydy?d?(x?y)?

2?1?22??(3x2?6xy2)dx?(6x2y?4y3)dy?0

定理：若u(x,y)是M(x,y)dx?N(x,y)dy的原函数，则恰当方程

M(x,y)dx?N(x,y)dy?0（*）的通解为u(x,y)?C，其中C为任意常数.

证明：先证（*）的任一解y?y(x)均满足方程u(x,y)?C

由于y?y(x)是（*）的解，故有M(x,y(x))dx?N(x,y(x))dy?0，又u(x,y)是原函数，则du(x,y(x))?0，从而u(x,y(x))?C，即y?y(x)满足方程u(x,y)?C 再证u(x,y)?C的任一解y?y(x)均是（*）的解，

因为y?y(x)是u(x,y)?C的解，所以存在常数C，使u(x,y(x))?C 对x微分，并应用u(x,y)是原函数的性质，有

du(x,y(x))?M(x,y(x))dx?N(x,y(x))dy(x)?0

从而，y(x)是（*）的解.

定理（恰当方程的判别准则）：设M(x,y),N(x,y)在某区域G内连续可微,则方程

M(x,y)dx?N(x,y)dy?0（*）是恰当方程的充要条件是

?M?N?, (x,y)?G ?y?x 1

证明：（必要性）

因为（*）是恰当微分方程,则存在原函数u(x,y)使,

du(x,y)??u?udx?dy?M(x,y)dx?N(x,y)dy ?x?y?2u?M?2u?N?u?u???M(x,y), ?N(x,y)，分别对y和x求偏导数有即， ?x?y?y?y?x?x?x?y?M?2u?2u?N???又知M(x,y),N(x,y)是连续可微的,从而有 ?y?y?x?x?y?x（充分性）

构造一个函数u(x,y)，使它满足

?u?u?M(x,y), ?N(x,y) ?x?y由

?u?M(x,y)，得u??M(x,y)dx??(y)，再对y求导数 ?x?u?d?(y)d?(y)???M(x,y)dx??N，从而?N??M(x,y)dx ?y?ydydy?y现在证明上式右端与x无关

??N?????N??????? N?M(x,y)dx??M(x,y)dx??M(x,y)dx??????????x??y???x?x??y??x?y??x??N?M??0 ?x?y所以右端只含y，积分得，?(y)??N?将其带入u?M(x,y)dx??(y)得

?????M(x,y)dxdy ???y?????u(x,y)??M(x,y)dx???N??M(x,y)dx?dy

?y??因此，恰当方程的通解为M(x,y)dx??N?2223??????M(x,y)dxdy?C ???y?例：求(3x?6xy)dx?(6xy?4y)dy?0的通解.

2223解：这里M?3x?6xy, N=6xy?4y,则My?12xy?Nx,所以原方程是恰当方程.

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现在求u(x,y)，使得满足

?u?u?3x2?6xy2(1), ?6x2y?4y3(2) ?x?y22由（1）对x积分，u?x?3xy??(y)，左式再对y求导数并使它与（2）相等，得

3?ud?(y)d?(y)?6x2y??6x2y?4y3，于是?4y3 ?yyy积分后的?(y)?y，所以u?x?3xy?y

故方程的通解为x?3xy?y?C，其中C为任意常数.

分项组合的方法：先把那些本身已构成全微分的项分出，再把剩下的项凑成全微分. 例：求(3x?6xy)dx?(6xy?4y)dy?0的通解.

解：把方程重新分项组合，得3xdx?4ydy?6xydx?6xydy?0 即dx?dy?3ydx?3xdy?0或d(x?y?3xy)?0 故方程的通解为x?3xy?y?C，其中C为任意常数. 常用的全微分公式：

3224342222342223222223322443224ydx?xdy?d(xy)，

ydx?xdyx?ydx?xdyyydx?xdyx?d()，，?d()?d(ln) 22yyxxxyyydx?xdyxydx?xdy1x?y?d(arctan)，?d(ln)

x2?y2yx2?y22x?y例：求解方程(cosx?11x)dx?(?2)dy?0. yyy解：因为

?M1?N1??2, ??2，所以原方程是恰当方程. ?yy?xy把方程重新分项组合，得cosxdx?11xdy?(dx?2dy)?0 yyy即dsinx?dlny?ydx?xdyx?0d(sinx?lny?)?0 或y2yx?C，其中C为任意常数. y故方程的通解为sinx?lny?

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二、积分因子

定义：如果存在连续可微的函数???(x,y)?0，使得?M(x,y)dx??N(x,y)dy?0（**） 为一恰当方程，即存在函数v(x,y)，使?M(x,y)dx??N(x,y)dy?dv 则称?(x,y)是方程的积分因子.

此时v(x,y)?C是（**）的通解，因而也就是（*）的通解.

例如：ydx?xdy?0不是恰当方程，

?1111,,,都可以作为其积分因子 2222xyxyx?y积分因子的求法：如果函数M(x,y),N(x,y)和?(x,y)都是连续可微的,则由恰当方程的判别准则知道, ?(x,y)为积分因子的充要条件是N??M??N，即??y?x?????M?N ，这是一个以?为未知函数的一阶线性偏微分方程，求解很

?M?(?)??x?y?y?x困难，我们只求某些特殊情形的积分因子.

当存在只与x有关的积分因子???(x)，则???0，上式变成Nd??(?M??N)?

?ydx?y?x?M?N?M?N???y?x??(x)，则d???(x)dx，从而得方程的一个积分因子 即d???y?xdx，令

N?N???e??(x)dx

?M?N??y?x??(y)，从而得方程的一个积同样，存在只与y有关的积分因子的充要条件是

?M分因子??e??(y)dy

2例：解方程(y?3xy?1)dx?(xy?x)dy?0

22解：M?y?3xy?1,N?xy?x,则My?2y?3x,Nx?y?2x,所以方程不是恰当的

2但是

My?NxN1dx1?x?x ?，它仅与x有关，因此有积分因子??ex2223方程两边乘以因子??x，得(xy?3xy?x)dx?(xy?x)dy?0 从而可得到隐式通解u?212231xy?xy?x2?C 22例：解方程(xy?y)dx?(xy?y?1)dy?0

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2解:这里M?xy?y,N?xy?y?1,则My?x?2y,Nx?y,方程不是恰当的.

但是

My?Nx?M??dy11??,它仅与y有关，因此积分因子 ??ey?

yy1方程两边乘以积分因子??

11，得(x?y)dx?(x?1?)dy?0 yy从而可得到通解u?12x?xy?y?ln|y|?C 2另外，还有特解y?0.它是用积分因子乘方程时丢失的解.

例：试用积分因子法解线性方程

dy?P(x)y?Q(x). dx解：将方程改写为[P(x)y?Q(x)]dx?dy?0

?M?N??y?x??P(x) 这里M?P(x)y?Q(x),N??1，而

N?P(x)dx则线性方程只有与x有关的积分因子??e? ?P(x)dx方程两边乘以??e?

?P(x)dx?P(x)dx?P(x)dxx得P(x)e?ydx?e?dy?Q(x)e?dx?0 为恰当方程 ?P(x)dx?P(x)dx又分项组合法 d(ye?)?Q(x)e?dx?0 ?P(x)dx?P(x)dx?Q(x)e?dx?c 因此方程的通解为ye??即y?e?P(x)dx?P(x)dx[?Q(x)e?dx?c]与前面所求得的结果一样.

例：求解方程

dyxx???1?()2(y?0) dxyy1x2?y2dx或d(x2?y2)?x2?y2dx

2解: 将方程改写为xdx?ydy?容易看出，此方程有积分因子??1x?y22，以?乘之得d(x2?y2)2x?y22?dx

22故通解为x?y?x?C或y?C(2x?C)

2例：求解方程ydx?(y?x)dy?0

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