第五章 误差传播定律
5.1误差的来源和分类（板书）
经过前面几章的学习，我们掌握了测量的基本工作—测角、量距、测高差的理论和方法。那么在这些工作中，我们通过测量得到的数据是否就是真实值呢？当然不是，因为在测量工作中，误差总是无处不在的。在我们的每一次观测中，都包含多种误差存在，因此这一章我们来学习测量中误差的特点及其规律。
一、定义：
观测值与真值之间的差值，记为： ?i?Li?X x为真值，即能代表某个客观事物真正大小的数值。Li为观测值，即对某个客观事物观测得到的数值。?i为观测误差，即真误差。
二、误差的来源
1、测量仪器
一是仪器本身的精度是有限的，不论精度多高的仪器，观测结果总是达不到真值的。二是仪器在装配、使用的过程中，仪器部件老化、松动或装配不到位使得仪器存在着自身的误差，如水准仪的水准管轴不平行视准轴，使得水准管气泡居中后，视线并不水平。水准尺刻划不均匀使得读数不准确。又如经纬仪的视准轴误差、横轴误差、竖盘指标差都是仪器本身的误差。 2、观测者
是由于观测者自身的因素所带来的误差，如观测者的视力、观测者的经验甚至观测者的责任心都会影响到测量的结果。如水准尺倾斜、气泡未严格居中、估读不准确、未精确瞄准目标都是观测误差。 3、外界条件
测量工作都是在一定的外界环境下进行的。例如温度、风力、大气折光、地球曲率、仪器下沉都会对观测结果带来影响。
上述三项合称为观测条件
a.等精度观测：在若干次观测中，观测条件相同 b.不等精度观测
测量误差的分类
根据测量误差表现形式不同，误差可分为系统误差、偶然误差和粗差。
1、系统误差
定义：误差的符号和大小保持不变或者按一定规律变化，则称其为系统误差。
1
例：钢尺的尺长误差。一把钢尺的名义长度为30m，实际长度为30.005m，那么用这把钢尺量距时每量一个整尺段距离就量短了5mm，也就是会带来-5mm的量距误差，而且量取的距离越长，尺长误差就会越大，因此系统误差具有累计性。
又如水准仪的i角误差（画图），由于水准管轴与视准轴不平行，两者之间形成了夹角i，使得中丝在水准尺上的读数不准确。如果水准仪离水准尺越远，i角误差就会越大。由于i角误差是有规律的，因此它也是系统误差。
正是由于系统误差具有一定的规律性，因此只要找到这种规律性，就可以通过一定的方法来消除或减弱系统误差的影响。
具体方法有：
1. 采用观测方法消除：比如水准仪安置距前后水准尺等距的地方可以消除i角误差和
地球曲率的影响。通过后前前后的观测顺序可以减弱水准仪下沉的影响。通过盘左盘右观测水平角和竖直角可以消除经纬仪的横轴误差、视准轴误差、照准部偏心差和竖盘指标差。 2. 加改正数：例如精密钢尺量距中的尺长改正：?ld＝
l/ l0 ×?l（l为任意尺段
D2长）、温度改正和高差改正。三角高程测量中的球气差改正数：f?0.43，光
R电测距仪的加常数和乘常数的改正：?D?K?RD
3. 检校仪器：将仪器的系统误差降低到最小限度或限制在一个允许的范围内。
措施：用计算方法加以改正；用一定的观测方法加以消除或削弱；检校仪器以限制误差的范围。 2、偶然误差
定义：偶然误差的符号和大小是无规律的，具有偶然性。 例如度盘分划不均匀引起的误差就是偶然误差，因为在度盘上有的地方可能分划的密度大一些，有的地方分划的密度要稀疏一些。又如我们在读数的时候，最后一位要估读，有时可能估读得大一些，有时估读得小一些，这是没有规律的。另外还有瞄准误差（照准误差）、对中误差也属于偶然误差。
虽然单个的偶然误差没有规律，但大量的偶然误差具有统计规律。 在后面的内容中就是要专门研究偶然误差的这种统计规律，如果没有特别的说明，后面提到的误差都是偶然误差。 3、粗差
也称错误，如瞄错目标、读错、记错数据、算错结果等错误，这个错误大家在实验中都是犯过的。在严格意义上，粗差并不属于误差的范围。
在测量工作中，粗差可以通过检核——包括测站检核、计算检核以及内业工作阶段的检核发现粗差，并从测量成果中予以剔除（如水平角实验中角度闭合差为十几分）。而系统误差和偶然误差，是同时存在的。对于系统误差，通过找到其规律性，采用一定的观测方法来消除或减小。当系统误差很小，而误差的主要组成为偶然误差时，则可以根据其统计规律进行处理——测量上称为“平差”。
2
偶然误差的特性
1.特性
根据前面所讲的，单个偶然误差没有规律性，而在相同条件下的重复观测一个量，也就是等精度观测，经过重复观测所出现的大量的偶然误差具有规律性。 例：在相同条件下，对三角形的三内角进行了独立的重复观测，由于每次观测中都含有误差，所以三角性的三个内角的观测值加起来不会等于真值，真值应该是180度。
设三个内角的观测值加起来为 Li=ai+bi+ci，即Li即为观测值（板书） 则?i?Li?180?，?i为真误差。 现在重复观测了358次，将其真误差的大小按一定的区间统计成一个列表（见书上P93）： 从这个列表中，我们可以看出偶然误差的几个特性： （注：表格中误差的相对个数指的是误差在每个误差区间内出现的次数除以误差的总次数，比如在0-0.2秒的这个区间内，即第一行，负误差的相对个数0.126应该是45除以358得到的,这个相对个数实际上就是误差出现的频率。）
误差所在区间
正误差个数
负误差个数
总数
48 48 96
1、在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的界限（有界性）；
0.0～0.5
0.5 ～1.0 1.0 ～1.5 1.5 ～2.0 2.0 ～2.5 2.5 ～3.0 19 13 8 5 2 1 20 12 9 4 2 1 39 25 17 9 4 2 2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大（小误差的密集性）； 3、绝对值相等的正负误差，出现的机会相等（对称性）；
4、由第3条特性可知，当n→∞时，偶然误差的算术平均值→0（即数学期望）， 即E(?)?lim?1??2?...??n[?]（[]符号表示求和） ?lim?0(抵偿性)。
n??n??nn（数学期望定义：随机变量X的观察值的算术平均值为随机变量X的数学期望） 2.直方图
3
由统计表格的数据我们可以绘制出一个直方图，其中横坐标为误差的大小，纵坐标为误差在每个区间出现的频率，即以y?k/d?，d?代表误差区间。 n3.正态分布曲线
当n→∞，也就是观测的次数趋近无穷多次，并且d?→0时也就是误差区间无穷小时，直方图中各个小长条矩形组成的折线就会变成一条曲线，这条曲线是一条正态分布曲线，可用正态分布概率密度函数表示：
1y?f(?)?e2???2?22?
我们回忆一下概率统计中所学的有关正态分布的内容：随机变量X服从参数为μ、σ的正态分布函数标准形式为：
y?f(x)?1e2??(x??)2?2?2，其中μ为随机变量X的数学期望，σ为随机
变量X的标准差D(x)（均方差），σ2为方差D(x)。因此上面的函数中，误差?为真误差，?是一个随机变量，因?是偶然误差。μ＝0，因可化为(??0)的形式，即随机变量
2?的数学期望为0，σ为随机变量σ的标准差。
方差的数学意义为：反映随机变量?与其均值E(?)，即与其数学期望的偏离程度。由于σ2就是?的方差，显然σ2与观测条件有关，如果观测条件越好，则误差?就应该越小，就越接近于0，也就是越接近于数学期望，由于?与数学期望的偏离程度越小，从而σ2越小。我们再看看有关精度的内容。
5.2 衡量精度的标准 一、精度的含义
所谓精度，是指误差分布的集中与离散程度。如误差分布集中（曲线a），则观测精度高；若误差分布离散（曲线b），则观测精度就低。（画图）从我们前面的分析可以知道，误差分布的集中与离散程度可以用方差σ2或标准差σ来表示。如果σ越小，误差偏离数学期望的程度就越低，则误差集中程度就会越高，即精度越高，反之如果σ越大，则误差的离散
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程度越高，精度越低，因此我们可以用σ即用标准差来衡量观测的精度。 二、中误差（均方差）
在测量工作中，我们就是用标准差来衡量观测精度的，我们称之为中误差，用m表示。 设在相同的观测条件下，对未知量进行重复独立观测，观测值为：l1，l2，…，ln，其真误差为： ⊿1，⊿2，…，⊿n
则真误差的方差： D(?)??2?E[??E(?)]2?E(?2)?lim2[??]
n??n式中当n→∞，E(?)＝0，根据数学期望的定义E(?)就是?2的算术平均值。[ ]为累加符号，[??]??1?1??2?2?...??n?n
真误差的标准差： ?D(?)????limn??[??] （无穷次） n实际工作中，观测次数有限，故取标准差的估值作为中误差：
???m??[??] （有限次） n应用时应注意：
1、⊿i可以是对一个量n次同精度观测，亦可以是对n个量各进行一次同精度观测的误差（例1：在全站仪测距时有的同学说测出来的距离不断地在变化，这实际上是全站仪在不断地测距，也就是对一个量——这个量就是距离——进行了多次等精度观测，而每次的观测值都有误差存在，误差有时大，有时小，所以测出来的距离值不断在变化。
例2：在前面讲的方向法测水平角时（画图），需要对多个方向观测，先瞄A，再瞄B，再瞄C…，这实际上就是对n个量进行了一次等精度观测）；
2、中误差m是衡量一组观测的精度标准，个别误差的大小并不能反映精度的高低； 3、n较大时，m较可靠；n有限时，m仅做参考； 4、m前要冠以±号，并有计量单位。
5、m为中误差，?为真误差，不要混淆。 例题1
设甲乙两组观测，真误差为：
甲：＋4”，＋3”，0”，－2”，－4”； 乙：＋6”，＋1”，0”，－1”，－5” 试比较两组的精度。 解：m甲＝?16＋9?0?4?16＝?3.0\
536?1?1?25＝?3.5\
5 m乙＝?因此甲组的精度高。
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