2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题30圆锥曲线的取值范围
考点命题分析
圆锥曲线部分往往以客观题形式考查圆锥曲线的标准方程、圆锥曲线的定义、离心率、焦点弦长、双曲线的渐近线等问题.圆锥曲线的综合问题主要有最值问题、参变量范围问题、探究性问题等题型，这些问题充分体现了数形结合思想，函数与方程思想，主要考查转化与化归能力、推理论证能力、运算求解能力以及创新意识和应用意识，是高考命题的常见题型和基本问题，本文就几个热点问题做一下总结和分享.
1求离心率的值或者取值范围
圆锥曲线离心率及其取值范围是高考的一个热点，也是难点，这一类问题的处理方法就是准确构建关于基本量a，b，c之间的等量关系或者不等关系，题型往往以小题为主，所以在解题时要谨防“小题大做”. 例1已知双曲线
的左，右焦点分别为
，则该双曲线的离心率的取值范围是
思路探求:根据正弦定理得由
因为e>1，所以又解得因为
.
(不等式两边不能取等号，否则题中分式中的分母为0，无意义)，所以，解得
.
，即
，可得
，所以
.
.
.
，若双曲线上存在点P使
，点P在双曲线的右支上.
，
方法点睛:结合定义考虑几何量之间的大小关系，特别是两个焦点和曲线上的点构成的焦点三角形中的等量关系.不等关系的建立一般都转化为椭圆或双曲线的几何性质来处理，如椭圆中横、纵坐标的范围
或者PF2的范围为[a－c，a+c]，双曲线左支上的点到左、右焦点，到右顶点A2的距离
例2)
的距离
等来构建不等式，当然要注意端点值是否能取到(如
2以动直线中的参量为变量的定点、定值、取值范围问题
直线与圆锥曲线中涉及的中点问题、垂直问题、弦长问题、斜率问题等，都最终转化为动直线中的变量(如斜率k)的等式或不等式来解决. 例2设圆
的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，交圆A于C，D两点，过
B作AC的平行线交AD于点E.
(I)证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围. 思路探求:(I)因为|AD|=|AC|，EB∥AC，故所以
，即
.
，所以|EA|+|EB|=4.
.
.
又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16，从而
由题设得A(－1，0)，B(1，0)，|AB|=2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为
(Ⅱ)根据斜率是否存在设出直线方程，当直线斜率存在时设其方程为y=k(x－1)(k≠0)，由根与系数的关系和弦长公式把面积表示为斜率k的函数，再求最值.
当l与x轴垂直时，其方程为x=1，|MN|=3，|PQ|=8，四边形MPNQ的面积为12. 当l与x轴不垂直时，设l的方程为y=k(x－1)由
得
.
.
则所以
过点B(1，0)且与垂直的直线以|PQ|=
故四边形MPNQ的面积
.
.
，A到m的距离为
.
.
.
，所
综上，四边形MPNQ面积的取值范围为
例3已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2，1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0)，交椭圆于A、B两个不同点. (I)求椭圆的方程；
(Ⅱ)求m的取值范围；
(Ⅲ)求证直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形. 思路探求:(I)椭圆的方程为
.
(Ⅱ)因为直线l平行于OM，且在y轴上的截距 为m，又
，得直线l的方程为:
.
由得.
因为直线l与椭圆交于A、B两个不同点，所以△=(2m)2－4(2m2－4)>0，解得－2 ，且 ，只需证明， ，则 即可. . . 故直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形. 方法点睛:联立方程不需要直接求出交点坐标，利用韦达定理得到两个交点的横坐标或者纵坐标与动直线变量(如例2中的斜率k和例3中的截距m)的直接关系， 或h(m)， 或g(m)，最后把与 ，即h(k)， 中点问题、弦长或者长度之比问题、垂直问题、斜率问题、面积问题等全部转化为 g(k)关于k或m的等式或不等式来处理，这里尤其要注意利用判别式本身的不等关系对参数的限定. 3过已知曲线上定点的弦的问题 有一类问题，直线过已知曲线上某定点，这种问题的解决又必须得求出另外一点的具体坐标，这时就需要过定点的直线的方程和曲线联立，转化为一元二次方程(或类一元二次方程)，考察判别式后，由韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点的坐标，进而解决问题. 例4已知点A，B，C是椭圆其中点 上的三点， ， ，如图. 是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且 (I)求点C的坐标及椭圆E的方程； (Ⅱ)若椭圆上存在两点P，Q使得直线PC与直线QC关于直线 对称，求直线PQ的斜率. 思路探求:(I)直接求基本量得椭圆E的方程为 . (Ⅱ)要求直线PQ的斜率，需要知道P，Q的具体坐标，而这个坐标可以直接通过设直线去求解.因为直线PC与直线QC关于直线方程为:由由 对称，则设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为－k，从而直线PC的，即y=消去y，整理得 是方程的一个根，得 ，即 .同理可得: ， . 所以 . ， . . 则直线PQ的斜率为定值. 方法点睛:解决此类问题，一是过曲线上的点的直线和曲线相交，点的坐标是方程组消元后得到的方程的根，因为一个点的坐标已知，往往通过韦达定理来求另一个动点的具体坐标；二是设出直线求出一点的坐标后，要利用变量的关联性去求另外的点的坐标，如例4利用直线的斜率互为相反数，求出P的横坐标后直接把k用一k替换，就得到了点Q的横坐标，减少计算量，达到节省时间的目的. 4.利用“点在曲线上”直接设而不求解决问题 设 在二次曲线mx2+ny2=1上，即有 . 该式可以看成是 ， 这四个量的组合， ，两式相减即可得 如果设AB的中点为，则，由此可以看出与两点坐标的平方差有关的或者与弦的中点、
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