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2019 初三数学中考复习 矩形、菱形与正方形 专题综合训练题
1. 已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( C )
A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB
2．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC＝( B )
A．5 B．4 C．3.5 D．3
3．如图所示，矩形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为( C )
A．30° B．45° C．60° D．75°
4．如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC＝24 cm，则四边形ABCD的周长为( A )
A．52 cm B．40 cm C．39 cm D．26 cm
5. 如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( A )
A．4.8 B．5 C．6 D．7.2
6．在△ABC中，点D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是( D )
A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形 C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形
D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
7．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC，其中正确结论的个数为( D )
A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1 500 m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3 100 m，则小聪行走的路程为__4_600__m.
9．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段BH的长度为__
50
__. 13
10．在矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的角平分线EF与DC交于点F，若AB＝9，DF＝2FC，则BC＝__62＋3__．(结果保留根号)
11．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使?ABCD成为正方形，所有正确的选择为__①②或①③或②④或③④__.
12．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连结AE，把∠B沿AE折叠，3
使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为__3或__．
2
13．如图，在矩形ABCD中，连结对角线AC，BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移动到点C处，得到△DCE.
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(1)求证：△ACD≌△EDC；
(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，AC＝BD，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC＝90°.由平移的性质得，DE＝AC，CE＝BC，∠DCE＝∠ABC＝90°，DC＝AB，∴AD＝EC，在△ACD和
AD＝EC，
??∠ADC＝∠DCE，
△EDC中，?∴△ACD≌△EDC(SAS)．
??CD＝DC，
(2)△BDE是等腰三角形．理由如下：∵AC＝BD，DE＝AC，∴BD＝DE，∴△BDE是等腰三角形．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，F在DE上，并且AF＝CE.
(1)求证：四边形ACEF是平行四边形；
(2)当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论； (3)四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？ 解：(1)证明：∵DE垂直平分BC，∠ACB＝90°，
∴DE∥AC，∴DE为△ABC的中位线， ∴E为AB的中点，∴CE＝AE＝AF.
∵DF∥AC，∴∠ECA＝∠EAC＝∠AEF＝∠EFA，从而△AFE≌△EAC， ∴EF＝AC，∴四边形ACEF为平行四边形．
(2)当∠E＝30°，四边形ACEF为菱形．理由：∵∠B＝30°，∴∠EAC＝60°.
∵AE＝EC，∴△AEC为正三角形，∴AC＝EC＝AE， ∴平行四边形ACEF为菱形．
(3)四边形ACEF不可能为正方形．理由：若四边形ACEF为正方形，则∠ACE＝90°.又∠ACB＝90°，则E，D两点重合，这与DE垂直平分BC矛盾．∴四边形ACEF不可能为正方形． 15．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点(点E不与端点A，C重合)，且AE＝CF，连结EF并取EF的中点O，连结DO并延长至点G，使GO＝OD，连结DE，DF，GE，GF. (1)求证：四边形EDFG是正方形；
(2)当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值． 解：(1)证明：连结CD，∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴∠A＝∠DCF＝45°，AD＝CD.在△ADE和△CDF
?AE＝CF，
中，?∠A＝∠DCF，∴△ADE≌△CDF(SAS)，∴DE
?AD＝CD，
＝DF，∠ADE＝∠CDF.∵∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠EDC＋∠CDF＝∠EDF＝90°，∴△EDF为等腰直角三角形．∵O为EF的中点，GO＝OD，∴GD⊥EF，且GD＝2OD＝EF，∴四边形EDFG是正方形．
(2)过点D作DE′⊥AC于点E′，∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，∴DE′1
＝BC＝2，AB＝42，点E′为AC的中点，∴2≤DE＜22，∴4≤S四边形EDFG＝DE2＜8.∴2当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4.
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