题组层级快练(四十四)
1．已知a，b∈(0，1)且a≠b，下列各式中最大的是( ) A．a＋b C．2ab 答案 D
解析 只需比较a＋b与a＋b.由于a，b∈(0，1)，∴a a＋b 2 B．a a＋b 2 2 2 2 2 2 2 2 B．2ab D．a＋b a＋b C．a a＋b D.ab 解析 方法一(特值法)：代入a＝1，b＝2，则有0 a＋b ＝1.5 a＋b 方法二(直接法)：我们知道算术平均数与几何平均数ab的大小关系，其余各式作差(作 2商)比较即可，答案为B. 3．下列函数中，最小值为4的是( ) 4 A．y＝x＋ xC．y＝4e＋e答案 C 解析 注意基本不等式等号成立的条件是“a＝b”，同时考虑函数的定义域，A中x的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，函数没有最小值；B中若sinx＝显然不成立．D中没有最小值．故选C. 4．若2＋2＝1，则x＋y的取值范围是( ) A．[0，2] C．[－2，＋∞) 答案 D 解析 ∵2＋2≥22·2＝22得x＋y≤－2，故选D. 5．若x，y是正数，则(x＋ 1212 )＋(y＋)的最小值是( ) 2y2x x y xyx＋yx yx －x 4 B．y＝sinx＋(0 sinxD．y＝log3x＋logx3(0 42 取到最小值4，则sinx＝4，sinx B．[－2，0] D．(－∞，－2] (当且仅当2＝2时等号成立)，∴2 xyx＋y11x＋y ≤，∴2≤，24 1 A．3 C．4 答案 C x1y122 解析 原式＝x＋＋2＋y＋＋2≥4. y4yx4x当且仅当x＝y＝12 时取“＝”号． 7 B. 29D. 2 1 6．已知a>0，且b>0，若2a＋b＝4，则的最小值为( ) ab1A. 41C. 2答案 C 11 解析 ∵4＝2a＋b≥22ab，∴ab≤2，≥，当且仅当a＝1，b＝2时取等号． ab2112 7．若x<0，则函数y＝x＋2－x－的最小值是( ) xx9 A．－ 4C．2 答案 D 112 解析 y＝x＋2－x－≥2 xx 2 B．4 D．2 B．0 D．4 12 x·2＋2 x1 （－x）（－）＝4，当且仅当x＝－1时取等号． x x＋2 8．函数y＝(x>1)的最小值是( ) x－1A．23＋2 C．23 答案 A 解析 ∵x>1，∴x－1>0. x＋2x－2x＋2x＋2∴y＝＝ x－1x－1x－2x＋1＋2（x－1）＋3＝ x－1 （x－1）＋2（x－1）＋33＝＝x－1＋＋2 x－1x－1 2 2 2 2 2 B．23－2 D．2 ≥2 3 （x－1）（）＋2＝23＋2. x－1 3 当且仅当x－1＝，即x＝1＋3时，取等号． x－1 1a 9．已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( ) xyA．2 C．6 答案 B 1axy2 解析 (x＋y)(＋)＝1＋a·＋＋a≥1＋a＋2a＝(a＋1)， xyyxxy22 当且仅当a·＝，即ax＝y时“＝”成立． yx1a2 ∴(x＋y)(＋)的最小值为(a＋1)≥9. xy∴a≥4. 10．设实数x，y，m，n满足x＋y＝1，m＋n＝3，那么mx＋ny的最大值是( ) A.3 C.5 答案 A 解析 方法一：设x＝sinα，y＝cosα，m＝3sinβ，n＝3cosβ，其中α，β∈R. ∴mx＋ny＝3sinβsinα＋3cosβcosα＝3cos(α－β)．故选A. 方法二：由已知(x＋y)·(m＋n)＝3，即mx＋ny＋nx＋my＝3，∴mx＋ny＋2(nx)·(my)≤3，即(mx＋ny)≤3，∴mx＋ny≤3. y 11．(高考真题·山东卷)已知x，y，z∈(0，＋∞)，且满足x－2y＋3z＝0，则的最小值 xz为( ) A．3 C．9 答案 A 1119 12．(2019·四川成都外国语学校)若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值为( ) aba－1b－1A．16 C．6 答案 C 3 2 2 2 2 2 2 22 22 22 22 22 22 2 2 2 2 B．4 D．8 B．2 D. 10 2 B．6 D．12 B．9 D．1 1119 解析 方法一：因为＋＝1，所以a＋b＝ab，即(a－1)·(b－1)＝1，所以＋≥ aba－1b－12 19 ×＝2×3＝6. a－1b－1 1119b－1＋9a－91 方法二：因为＋＝1，所以a＋b＝ab，＋＝＝b＋9a－10＝(b＋9a)( aba－1b－1ab－a－b＋1a1 ＋)－10≥16－10＝6. b 111199 方法三：因为＋＝1，所以a－1＝，所以＋＝(b－1)＋≥29＝2×3＝ abb－1a－1b－1b－16. 13．(2019·河南郑州外国语学校月考)某城镇人口第二年比第一年增长m%，第三年比第二m＋n 年增长n%，若这两年的平均增长率为p%，则p与的大小关系为( ) 2m＋nA．p> 2m＋nC．p≤ 2答案 C 解析 依题意得(1＋m%)(1＋n%)＝(1＋p%)，所以1＋p%＝（1＋m%）（1＋n%）≤1＋m%＋1＋n%m%＋n%m＋n ＝1＋，当且仅当m＝n时等号成立，所以p≤，故选C. 222414．(1)当x>1时，x＋的最小值为________； x－14 (2)当x≥4时，x＋的最小值为________． x－116 答案 (1)5 (2) 3解析 (1)∵x>1，∴x－1>0. 44 ∴x＋＝x－1＋＋1≥24＋1＝5. x－1x－14(当且仅当x－1＝.即x＝3时“＝”号成立) x－14 ∴x＋的最小值为5. x－1(2)∵x≥4，∴x－1≥3. 4 ∵函数y＝x＋在[3，＋∞)上为增函数， x 2 m＋nB．p＝ 2m＋nD．p≥ 2 4 416 ∴当x－1＝3时，y＝(x－1)＋＋1有最小值. x－13 1 15．若a>0，b>0，a＋b＝1，则ab＋的最小值为________． ab答案 17 4 a＋b21 解析 ab≤()＝， 241 当且仅当a＝b＝时取等号． 211 y＝x＋在x∈(0，]上为减函数． x41117∴ab＋的最小值为＋4＝. ab44 162 16．已知a>b>0，求a＋的最小值． b（a－b）答案 16 642 思路 由b(a－b)求出最大值，从而去掉b，再由a＋2，求出最小值． a解析 ∵a>b>0，∴a－b>0. b＋（a－b）2a ∴b(a－b)≤[]＝. 24∴a＋ 2 2 16642 ≥a＋2≥2 b（a－b）a642 a·2＝16. a 642 当a＝2且b＝a－b，即a＝22，b＝2时等号成立． a∴a＋ 2 16 的最小值为16. b（a－b） 111 17．(2019·江西重点中学盟校联考)设x，y均为正实数，且＋＝，求xy的最小 2＋x2＋y3值． 答案 16 111 解析 由＋＝，化为3(2＋y)＋3(2＋x)＝(2＋y)·(2＋x)，整理为xy＝x＋y＋ 2＋x2＋y38.∵x，y均为正实数，∴xy＝x＋y＋8≥2xy＋8，∴(xy)－2xy－8≥0，解得xy≥4，即xy≥16，当且仅当x＝y＝4时取等号，∴xy的最小值为16. 18．(2019·辽宁抚顺一中月考)某健身器材厂研制了一种足浴气血生机，具体原理是：在足浴盆右侧离中心x(0 5 2
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