则|OA|2+|OB|2
=+4sin2α=+4(1+sin2α)-4,
令t=1+sin2
α,则t∈(1,2),
则|OA|2+|OB|2
=+4t-4,∵函数y=+4t-4在(1,2)上单调递增,
∴|OA|2+|OB|2∈(2,5).
8. 解:(1)由得
∴圆C的普通方程为(x-a)2+y2=a2,即圆心为(a,0),半径r=a.
∵ρsin=ρsin θcos+ρcos θsin=2,
把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,得直线l的直角坐标方程为x+y-4=0.
∵圆心到直线l的距离d=,∴|AB|=2=2,即a2-=2,
解得a=2或a=-10,∵0 +y2 =4, 把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,得(ρcos θ-2)2 +(ρsin θ)2 =4, 化简得圆C的极坐标方程为ρ=4cos θ. 依题意,设M(ρ1,θ1),N, 则-<θ1<,-<θ1+<,∴-<θ1<, ∴|OM|+|ON|=ρ1+ρ2=4cos θ1+4cos=6cos θ1-2sin θ1=4cos, ∵-<θ1+<,∴|OM|+|ON|的最大值为4. 13 课时作业(六十八) 1. 解:(1)曲线C的极坐标方程为ρ=1,根据ρ=x+y可得曲线C的直角坐标方程为x+y=1, 2 2 2 2 2 将代入x+y=1,得t-4tsin φ+3=0(*), 222 由16sinφ-12>0,得|sin φ|>2 ,又0≤φ<π, ∴φ的取值范围是. (2)设P1(t1cos φ,-2+t1sin φ),P2(t2cos φ,-2+t2sin φ),由(1)中的(*)可知,=2sin φ, ∴可得P1P2中点的轨迹方程为φ为参数,<φ<. 故线段P1P2中点轨迹的参数方程为φ为参数,<φ<. 2. 解:(1)直线l的参数方程为 2 2 2 (t为参数),曲线C的直角坐标方程为y=2x. 2 (2)把直线l的参数方程代入y=2x,得tsinα-(2cos α+8sin α)t+20=0,设A,B两点对应的参数分别 为t1,t2,则t1+t2=,t1t2=,根据参数t的几何意义,可得|MA||MB|=|t1t2|==40,所以 α=或α=.又因为Δ=(2cos α+8sin α)2-80sin2α>0,所以α=. 3. 解:(1)由消去t,得xsin φ-ycos φ+2cos φ=0, 所以直线l的普通方程为xsin φ-ycos φ+2cos φ=0. 由ρcosθ=8sin θ,得(ρcos θ)=8ρsin θ, 14 22 把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入上式,得x=8y, 所以曲线C的直角坐标方程为x=8y. (2)将直线l的参数方程代入x=8y,得tcosφ-8tsin φ-16=0, 设A,B两点对应的参数分别为t1,t2, 2 2 2 2 2 则t1+t2=,t1t2=-, 所以|AB|=|t1-t2|===, 当φ=0时,|AB|取得最小值,为8. 4. 解:(1)易知曲线C1的直角坐标方程为x+y=1,圆心为(0,0),半径为1,曲线C2的普通方程为y=x+2, 2 2 圆心到直线的距离d==,所以C1上的点到C2的距离的最小值为-1. (2)伸缩变换为所以C'1:+=1,故C'1:+=1. 2 将C2的参数方程与C'1的方程联立,得7t+2t-10=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则 t1+t2=-,t1t2=-,因为t1t2=-<0, 所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=. 5. 解:(1)由ρ=2 可得ρ(1+2sinθ)=3,又x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ=x+y, 22222 ∴曲线C的直角坐标方程为+y2=1,点A的直角坐标为(3,). (2)曲线C的参数方程为(α为参数,α∈[0,2π)),∴设B(cos α,sin α), 15 依题意可得|BE|=3-cos α,|BF|=-sin α, 矩形BEAF的周长为2|BE|+2|BF|=6+2-2cos α-2sin α=6+2-4sin, 当α=时,周长取得最小值,为2+2,此时点B的直角坐标为. 6. 解:(1)∵曲线C1的参数方程为(φ为参数), ∴曲线C1的普通方程为+=1. ∵ρ2=x2+y2,x=ρcos θ,y=ρsin θ, ∴ρ2-2ρcos θ+2ρsin θ+1=0可化为x2+y2-2x+2y+1=0, 即曲线C2 2 2的直角坐标方程为(x-1)+(y+1)=1. (2)∵曲线C1的右焦点F的坐标为(2,0), ∴直线l的参数方程为 (t为参数). 将直线l的参数方程代入(x-1)2 +(y+1)2 =1, 得t2 +2(sin α+cos α)t+1=0, ∵直线l与曲线C2相交于不同的两点M,N,∴Δ>0, ∴0<α<, 设M,N对应的参数分别为t1,t2, 则+=-=-=2(sin α+cos α)=2sin, ∴ 16
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