第1讲 坐标系
1．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的π??极坐标方程为ρcos?θ－?＝1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点． 3??
(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求点M，N的极坐标； (2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
π?3?1??解：(1)由ρcos?θ－?＝1，得ρ?cos θ＋sin θ?＝1， 3??2?2?13
从而曲线C的直角坐标方程为x＋y＝1，
22即x＋3y＝2.
θ＝0时，ρ＝2，所以M(2，0)． θ＝时，ρ＝
π
2
23?23π?
，所以N?，?. 32??3
?23?
(2)由(1)得点M的直角坐标为(2，0)，点N的直角坐标为?0，?.
3??
所以点P的直角坐标为?1，则点P的极坐标为?
?
?3??， 3?
?23π?
，?， 6??3
π
所以直线OP的极坐标方程为θ＝，ρ∈(－∞，＋∞)．
6
2．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设⊙C的极
?π?坐标方程为ρ＝2sin θ，点P为⊙C上一动点，点M的极坐标为?4，?，点Q为线段PM2??
的中点．
(1)求点Q的轨迹C1的方程；
(2)试判定轨迹C1和⊙C的位置关系，并说明理由．
解：(1)由⊙C的极坐标方程为ρ＝2sin θ得ρ＝2ρsin θ， 所以⊙C的直角坐标方程为x＋y－2y＝0，
2
2
2
?π?又点M的极坐标为?4，?，
2??
所以点M的直角坐标为(0，4)．
设点P(x0，y0)，点Q(x，y)， 则有x0＋(y0－1)＝1.(*) 因为点Q为线段PM的中点，
??x0＝2x，所以?
?y0＝2y－4，?
2
2
代入(*)得轨迹C1的方程为
?5?1x＋?y－?＝.
?2?4
2
2
(2)因为⊙C的直角坐标方程为x＋(y－1)＝1，圆心为(0，1)，半径为1， 1?5?而轨迹C1是圆心为?0，?，半径为的圆， 2?2?
3
所以两圆的圆心距为，等于两圆半径和，所以两圆外切．
2π??3．在极坐标系中，圆C是以点C?2，－?为圆心，2为半径的圆． 6??(1)求圆C的极坐标方程； (2)求圆C被直线l：θ＝－
5π
(ρ∈R)所截得的弦长． 12
22
解：法一：(1)设所求圆上任意一点M(ρ，θ)，如图， 在Rt△OAM中，∠OMA＝90°，
π
∠AOM＝2π－θ－，|OA|＝4.
6|OM|
因为cos∠AOM＝，
|OA|所以|OM|＝|OA|·cos∠AOM，
π?π???即ρ＝4cos?2π－θ－?＝4cos?θ＋?， 6?6???
π??验证可知，极点O与A?4，－?的极坐标也满足方程，
6??π??故ρ＝4cos ?θ＋?为所求．
6??
5π
(2)设l：θ＝－(ρ∈R)交圆C于点P，
12在Rt△OAP中，∠OPA＝90°，
π
易得∠AOP＝，
4
所以|OP|＝|OA|cos∠AOP＝22.
π
法二：(1)圆C是将圆ρ＝4cos θ绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆，
6π??所以圆C的极坐标方程是ρ＝4cos?θ＋?. 6??
π?5π?(2)将θ＝－代入圆C的极坐标方程ρ＝4cos?θ＋?，得ρ＝22，
6?12?所以圆C被直线l：θ＝－
5π
(ρ∈R)所截得的弦长为22. 12
π??4．在极坐标系中，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ＝－2cos θ，ρcos?θ＋?＝3??1.
(1)求曲线C1和C2的公共点的个数；
(2)过极点作动直线与曲线C2相交于点Q，在OQ上取一点P，使|OP|·|OQ|＝2，求点P的轨迹，并指出轨迹是什么图形．
解：(1)C1的直角坐标方程为(x＋1)＋y＝1，它表示圆心为(－1，0)，半径为1的圆．C2
的直角坐标方程为x－3y－2＝0，所以曲线C2为直线，
|－1－2|3
由于圆心到直线的距离为d＝＝>1，
22所以直线与圆相离， 即曲线C1和C2没有公共点．
??ρρ0＝2，
(2)设Q(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，则?，
?θ＝θ0?
2
2
2??ρ0＝，ρ① 即???θ0＝θ.
因为点Q(ρ0，θ0)在曲线C2上， π??所以ρ0cos?θ0＋?＝1.②
3??π?2?将①代入②，得cos?θ＋?＝1，
3?ρ?
π?1?2?3?2??即ρ＝2cos?θ＋?为点P的轨迹方程，化为直角坐标方程为?x－?＋?y＋?＝1，
3???2??2?3??1
因此点P的轨迹是以?，－?为圆心，1为半径的圆．
2??2
π??1．已知曲线C1的极坐标方程为ρcos?θ－?＝－1，曲线C2的极坐标方程为ρ＝223??π??cos?θ－?.以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．
4??
(1)求曲线C2的直角坐标方程；
(2)求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值．
π??解：(1)依题意得ρ＝22cos?θ－?＝2(cos θ＋sin θ)，
4??即ρ＝2(ρcos θ＋ρsin θ)，
2
可得x＋y－2x－2y＝0，
2
2
故C2的直角坐标方程为(x－1)＋(y－1)＝2. (2)曲线C1的极坐标方程为
22
ρcos?θ－?＝－1，
3
??
π??
3?1?
即ρ?cos θ＋sin θ?＝－1，
2?2?化为直角坐标方程为x＋3y＋2＝0，
由(1)知曲线C2是以(1，1)为圆心，2为半径的圆，且圆心到直线C1的距离d＝|1＋3＋2|1＋（3）
2
＝2
3＋3
>r＝2， 2
3＋3＋22
于是直线与圆相离，所以动点M到曲线C1的距离的最大值为. 2
2．在直角坐标系xOy中，半圆C的直角坐标方程为(x－1)＋y＝1(0≤y≤1)．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C的极坐标方程；
π
(2)直线l的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝53，射线OM：θ＝与半圆C3的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以半圆C的极坐标方程是ρ＝2cos θ，θ2
2
?π?∈?0，?.
2??
(2)设(ρ1，θ1)为点P的极坐标，
ρ1＝2cos θ1，??则有? π
θ＝，1?3?
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