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【例3】 已知：如图，A、F、C、D四点在同一直线上，AB=DE，BF=EC，AC=DF．
⑴求证：AB∥DE；
E D ⑵又知∠D=30°，∠DEC=15°，求∠CFB的度数．
C 【解析】 ⑴∵AC=DF，∴AC?FC?DF?FC，即AF?CD F ?AB?DE?在△ABF和△DEC中，?BF?EC，
?AF?DC?A
B
∴△ABF≌△DEC(SSS) ∴∠D=∠A ∴AB∥DE．
⑵ ∵△ABF≌△DEC
∴∠D=∠A=30°，∠DEC=∠ABF=15° ∴∠CFB=∠A+∠ABF=45°．
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2. 全等三角形的判定（二）——SAS
尺规作图：已知△ABC，画一个△A?B?C?，使A'B'?AB，A'C'?AC，?A'??A． 并判断△A?B?C?和△ABC是否全等． A
A'BB'C DC'E
【点评】 学生版方框内需要填充.
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【例4】 如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90o，D为AB延长线
上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC． ⑴求证：△ABE ≌△CBD；
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初二暑期·第1讲·尖子班·教师版
A
BDEC ⑵若∠CAE=30o，求∠BCD的度数．
（2012西城一模）
【解析】⑴∵ ∠ABC=90o，D为AB延长线上一点， ∴ ∠ABE=∠CBD=90o . 在△ABE和△CBD中,
?AB?CB,???ABE??CBD,?BE?BD,?
∴ △ABE ≌△CBD (SAS)
⑵∵ AB=CB，∠ABC=90o，
∴ ∠CAB=45°. 又∵ ∠CAE=30o， ∴ ∠BAE =15°. ∵ △ABE ≌△CBD， ∴ ∠BCD=∠BAE =15°.
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3. 全等三角形的判定（三）——ASA&AAS
尺规作图：已知△ABC，画一个△A?B?C?，使B'C'?BC，?B'??B，?C'??C． 并判断△A?B?C?和△ABC是否全等．
A EDA'BC B'C'
思考：若将?C'??C改成?A'??A呢？画出的△A'B'C'和△ABC全等吗？ 【点评】 学生版方框内需要填充.
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【例5】 已知，如图，点D在边BC上，点E在△ABC外部，DE交AC于F，若AD=AB，∠1=
∠2=∠3．
求证：BC=DE． (2012石景山二模)
【解析】∵∠1=∠2=∠3
∴∠BAC=∠DAE 又∵∠DFC=∠AFE ∴∠C=∠E
在△ABC和△ADE中
??BAC??DAE? ??C??E?AB?AD?CD3F21ABE∴△ABC ≌△ADE (AAS) ∴BC=DE．
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4. 全等三角形的判定（四）——HL
并判断△A?B?C?和△ABC是否全等．
A
尺规作图：已知Rt△ABC，画一个Rt△A?B?C?，使B'C'?BC，A'B'?AB．
NA' B
C MB'C'
【点评】 学生版方框内需要填充.
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【例6】 已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=DC，求证：BE=DF． 【解析】∵AC平分∠BAD
∴∠FAC=∠EAC
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FDC
AEB 又∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F ∴∠F=∠CEA=90° 在△FAC和△EAC中 ??F??CEA???FAC??EAC ?AC?AC?∴△FAC ≌△EAC (AAS) ∴CF=CE，
在Rt△BEC和Rt△DFC中 ?BC?DC ?CE?CF?∴Rt△BEC ≌ Rt△DFC (HL) ∴BE=DF．
【探究对象】全等三角形中图形所涉及的基本构图
【探究目的】从构图角度更加熟悉全等三角形的图形及常规解法，辅以全国中考题作为例题
【探究一】共边型
【变式1】如图，己知AC=BD，要使△ABC≌△DCB，则只需添加一个适当的条件是 (填
一个即可) （2012黑龙江齐齐哈尔）
【解析】∵AC=BD，BC是公共边，
∴要使△ABC≌△DCB，需添加：
BCAD平移 对称 (翻折)
①AB=DC（SSS）或②∠ACB=∠DBC（SAS）
【变式2】如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，求证：∠DBC=∠DCB
（2012江苏常州）
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【解析】∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD
又∵AB=AC，AD=AD，∴△BAD≌△CAD（SAS）
AD ∴BD=CD ∴∠DBC=∠DCB
【备注】等腰三角形基本知识请老师酌情补充．
BC【变式3】如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，求证：AB=DC．
（2012广西钦州）
【解析】∵点E，F在BC上，BE=CF，∴BE+EF=CFR+EF，即BF=CE
在△ABF和△DCE中，∵∠A=∠D，∠B=∠C，BF=CE， ∴△ABF ≌△DCE（AAS） ∴AB=DC
【探究二】共角型
BEFCAD
【变式4】如图：点D、E分别在线段AB、AC上，BE、CD相交于点O，AE=AD，要使△ABE ≌△ACD，
需添加一个条件是 （只需一个即可，图中不能再添加其他点或线）．
（2012青海）
【解析】∵∠A=∠A，AE=AD
∴添加：∠ADC=∠AEB（ASA），∠B=∠C（AAS），
AB=AC（SAS），∠BDO=∠CEO（ASA）
可得△ABE ≌△ACD
故填：∠ADC=∠AEB或∠B=∠C或AB=AC或∠BDO=∠CEO．
【变式5】如图所示，AB=DB，∠ABD=∠CBE，要使△ABC ≌△DBE，请你添加一个适当的条
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