学而思初二数学暑假班第1讲 全等三角形的认识 尖子班 教师版

思维拓展训练(选讲)

训练1. 已知：如图，AC与BD交于O点，AB∥DC，AB?DC．

⑴ 求证：AC与BD互相平分；

⑵ 若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点， 求证：OE?OF．

【解析】 ⑴ ∵AB∥DC，

∴?A??C，

在△AOB和△COD中， ??A??C???AOB??COD ?AB?CD?lDFOCAEB∴△AOB≌△COD?AAS?， ∴AO?CO，BO?DO， 即AC与BD互相平分． ⑵由⑴可知AO?CO， 在△AOE和△COF中， ??AOE??COF? ??A??C ?AO?CO? ∴△AOE≌△COF?AAS?， ∴OE?OF

另：证明△BOE≌△DOF也可．

训练2. 如右图所示，AB∥CD，AC∥DB，AB?CD，AD与BC交于

O，AE?BC于E，DF?BC于F，那么图中全等的三角形有哪几对？并简单说明理由．

【解析】 7对：

AOECDFB△AOB≌△DOC；△AOC≌△DOB；△AEO≌△DFO； △AEC≌△DFB；△ABC≌△DCB；△ABD≌△DCA； △AEB≌△CFD．理由略．

训练3. 请分别按给出的条件画△ABC（不写画法），并说明所作的三角形是否唯一；如果有不

唯一的，想一想，为什么？

⑴ ?B?120?，AB?2cm，AC?4cm；⑵ ?B?90?，AB?2cm，AC?3cm； ⑶ ?B?30?，AB?2cm，AC?3cm； ⑷ ?B?30?，AB?2cm，AC?2cm； ⑸ ?B?30?，AB?2cm，AC?1cm； ⑹ ?B?30?，AB?2cm，AC?1.5cm；

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【解析】 只有⑹所作的三角形不唯一．

训练4. 我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么

情况下，它们会全等？

⑴ 请你画图举例说明两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不全等； ⑵ 阅读与证明：

对于两个三角形均为锐角三角形，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形它们全等. 可证明如下：

已知：△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB?A1B1，BC?B1C1，?C??C1．

求证：△ABC≌△A1B1C1．（先把文字语言转化成符号语言） 证明：分别过点B，B1作BD?AC于D，B1D1?AC11于D1，则

?BDC??B1D1C1?90?，（如果需要添加辅助线，先说明辅助线做法）

BB1

??BDC??B1D1C1?90?? ∵在△BCD和△B1C1D1中，??C??C1

?BC?BC11?∴△BCD≌△B1C1D1(AAS) ∴BD?B1D1

?BD?B1D1?∵在△ADB和△A1D1B1中，?AB?A1B1

??ADB??ADB?90?111?CDAC1D1A1

∴ △ADB≌△A1D1B1(HL)，∴ ?A??A1， ??A??A1?∵在△ABC和△A1B1C1中，??C??C1

?BC?BC11?∴ △ABC≌△A1B1C1(AAS)．

对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．

对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等你们来试试吧！ ⑶归纳与叙述：由⑴、⑵可得到一个正确结论，请你写出这个结论．

⑴【解析】

；⑵略；⑶若△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形或均为直角三角形

或均为钝角三角形，且AB?A1B1，BC?B1C1，?C??C1，则△ABC≌△A1B1C1．

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实战演练

题型一 全等三角形的概念和性质 巩固练习

【练习1】 ① 判定两个三角形全等的方法是：⑴ ；⑵ ；⑶ ；

⑷ ；⑸ ；⑹ ．

全等三角形的性质是对应边、对应角、周长、面积都分别 ． ② 两个三角形具备下列（ ）条件，则它们一定全等． A．两边和其中一边的对角对应相等 B．三个角对应相等

C．两角和一组对应边相等

D．两边及第三边上的高对应相等 ③ 下列命题错误的是（ ）

A．全等三角形对应边上的高相等

B．全等三角形对应边上的中线相等 C．全等三角形对应角的角平分线相等

D．有两边和一个角对应相等的两个三角形全等 【解析】 ①⑴定义，⑵SAS，⑶ASA，⑷AAS，⑸SSS，⑹HL；相等．②C；③D．

【练习2】 如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若

则?C的度数为______________． △ADB≌△EDB≌△EDC，

C【解析】 30?.

题型二 全等三角形的判定 巩固练习

【练习3】 已知：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧．

AB∥ED，AB?CE，BC?ED．求证：AC?CD．

（北京中考试题）

【解析】 ∵AB∥ED，∴?B??E．

在△ABC和△CED中， ?AB?CE，? ??B??E，?BC?ED，?DAEBA B

C E

D

∴△ABC≌△CED． ∴AC?CD．

【练习4】 如图所示，已知AC?BC，AD?BD，AD?BC，CE?AB，

DF?AB，垂足分别为E、F，试证明CE?DF．

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CDA

EFB 【分析】 法一，根据题目中给出的条件，可以利用“HL”证明△ABC≌△BAD，得到

?CAB??DBA，然后再利用“AAS”证明△CAE≌△DBF，即可得出CE?DF．

法二，此题在证明了△ABC≌△BAD后，根据全等三角形的面积相等，即S△ABC?S△BAD，而这两个三角形又是同底的，可以得出高CE等于高DF．

【解析】 法一：∵AC?BC，AD?BD，

∴?ACB??BDA?90°． 在Rt△ABC和Rt△BAD中， ?AB?BA(公共边)， ?BC?AD，?∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)，

∴AC?BD，?CAB??DBA（全等三角形的对应边、对应角相等）． ∵CE?AB于点E，DF?AB于点F， ∴?CEA??DFB?90°． 在△CAE和△DBF中， ??CEA??DFB?90°，? ??CAE??DBF，?AC?BD，?∴△CAE≌△DBF(AAS)，

∴CE?DF（全等三角形的对应边相等）． 法二：∵AC?BC，AD?BD，

∴?ACB??BDA?90°． 在Rt△ABC和Rt△BAD中， ?AB?BA， ??BC?AD，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)， ∴S△ABC?S△BAD．

又∵AB?AB，CE?AB，DF?AB， ∴CE?DF．

【点评】 本题方法一通过两次直角三角形全等得到结论，其中第一次全等运用了“HL”，第二次

全等运用了“AAS”，要注意区别．通过方法二我们可以知道有时灵活运用三角形面积相等也可证明两条线段相等．

题型三 全等三角形判定的应用 巩固练习

【练习5】 ⑴如图，AB?CD，AD、BC相交于点O，要使△ABO≌△DCO，应

添加的条件为 ．(添加一个条件即可)

⑵在△ABC和△A?B?C?中，AB?A?B?，?B??B?，补充条件后仍不一 定能保证△ABC≌△A?B?C?，则补充的这个条件是( )

A．BC?B?C? B．?A??A? C．AC?A?C? D．?C??C? 【解析】 ⑴?A??D或?B??C；⑵C．

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BAODC19

课后测

测1.

⑴如果△ABC≌△DEF，且△ABC的周长是100cm，A、B分别与D、E对应，且 AB?30cm，DF?25cm，那么BC的长为 ． ⑵△ABC中，?BAC:?ACB:?ABC?4:3:2，且△ABC≌△DEF，则?DEF?______．

【解析】 ⑴∵△ABC≌△DEF，∴DF?AC?25cm．

又∵△ABC的周长是100cm，∴BC?(100?30?25)cm?45cm ⑵∵△ABC≌△DEF，∴?DEF??ABC．

又∵?BAC:?ACB:?ABC?4:3:2，三角形内角和是180?， ∴?ABC?40?，∴?DEF?40?．

测2.

如图所示，△ABC中，D、E分别在AC、AB上，BD与CE交于 点O，给出下列四个条件：

①?EBO??DCO；②?BEO??CDO；③BE?CD；④OB?OC 上述四个条件中，在不添加辅助线的情况下，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形) .

BAEOD【解析】 ①③、①④、②③、②④.

测3.

C如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC?BD，则图中全等三角形

有( )

A

A.4对 B. 6对. C.8对 D.10对 【解析】 C

BOD

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C20

第十五种品格：创新

想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉.严格地说，想象力是科学研究的实在因素.所以创新是时代的必须，也是所有人快速进步的必要手段. 【创新的三个层次】

一、处处是创造之处，人人是创造之人； 二、敢想敢做，有付出定会有收获；

三、坚持敢于创新的理念，持之以恒，追求奋斗，终会辉煌.

钓鱼钓出食品冷冻法

1940年，美国皮革商巴察在出售了自己的食品冷冻法专利后得到了3000万美元.这笔财富的获得完全得益于他的钓鱼爱好.

巴察经常去纽芬兰海岸，在结了冰的海上凿洞钓鱼.从海水中钓起的鱼放在冰上立即被冻得硬梆梆的.当几天后食用这些冻鱼时，巴察发现只要鱼身上的冰不溶化，鱼味就不变.根据这一发现，巴察着手试验将肉和蔬菜冰冻起来.他高兴地发现，只要把肉和蔬菜冻得像那些鱼一样，就能保持新鲜.

经过反复试验，他进一步发现：冰冻的速度和方法不同，会影响食品冰冻后的味道和保鲜程度.经过几个月废寝忘食的摸索，巴察为他发明的食物冰冻法申请了专利.由于这是一种具有极大潜力和应用范围的新技术，所以找上门来的人很多.巴察待价而沽，最终，通用食品公司以3000万美元的巨款把这项专利拿到了手.

处处留心自己身边的机会，锲而不舍地加以探究，便会开发出新的财富.

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