衡水中学2016届高三下学期一调考试（理）数学试题

x2y220.（本小题满分12分）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左，右焦点分别为F1,F2，点M?0,2?是椭

ab圆的一个顶点，?F1MF2是等腰直角三角形. ⑴求椭圆C的方程；

⑵设点P是椭圆C上一动点，求线段PM的中点Q的轨迹方程；

⑶过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点，设两直线的斜率分别为k1,k2，且k1?k2?8，探究AB是否过定点，并说明理由.

21.（本小题满分12分）已知函数f?x??ex,g?x??lnx?m. ⑴当m??1时，求函数F?x??f?x??x?g?x?在?0,???上的极值； x1. 10⑵若m?2，求证：当x??0,???时，f(x)?g(x)?（参考数据：ln2?0.693,ln3?1.099,ln5?1.609,ln7?1.946）

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请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为3与2，圆O1的弦AB交圆O2于点C（O1不在AB上），AD是圆O1的一条直径. ⑴求

AC的值； AB⑵若BC?3，求O2到弦AB的距离.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，设倾斜角为?的直线l:?参数）相交于不同的两点A,B. ⑴若????x?2cos??x?2?tcos?（t为参数）与曲线C:?（?为

??y?sin??y?3?tsin??3，求线段AB中点M的坐标；

2⑵若PA?PB?OP，其中P2,3，求直线l的斜率.

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知a?0,b?0,c?0，函数f?x??x?a?x?b?c ⑴求a?b?c的值； ⑵求

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??12122a?b?c的最小值. 49参考答案

一、选择题

1-5 BDACB 6-10 BBDBC 11-12 CD 二、填空题

13. 2 14. 8 15. 三、解答题

329 16. 218

又因为q?1，所以a2?a3?2 由a3?qa1,?q?2 当n?2k?1k?N当n?2kk?N???时，ann?a2k?1?2n2n?12

???时，a?a2k?2

?1?n2?2,n为奇数所以数列?an?的通项公式为an??n;

?22,n为偶数?(2)由(1)，得bn?log2a2nn?n?1,n?N?、

a2n?12设数列?bn?的前n项和为Sn，则

Sn?1?111?2???n? 20212n?11111Sn?1?1?2?2??n?n 2222上述两式相减，得

111111Sn?0?1?2???n?1?n?n 222222n?2?2?n

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?Sn?4?n?2?,n?N n?12n?2,n?N? n?12所以数列?bn?的前n项和为Sn?4?18.(1)设各组的频率为fi?i?1,2,3,4,5,6?

由图可知，第一组有3人，第二组有7人，第三组有27人， 因为后四组的频数成等差数列 所以后四组频数依次为27,24,21,18 所以视力在5.0以下的频率为 0.03+0.07+0.27+0.24+0.21=0.82

故全年级视力在5.0以下的人数约为1000?0.82?820；

100??41?18?32?9?300(2)K2???4.110?3.841

50?50?73?2773因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系； (3)依题意9人中年级名次在1?50名和951?1000名的人数分别为3人和6人 所以X可能的取值为0,1,2,3

2P?X?0??51531，P?X?1??，P?X?2??，P?X?0?? 21281484X的分布列为

X P 0 1 2 3 5 2151531E?X??0??1??2??3??1.

2128148419.(1) ?AB?AC，且O是BC的中点

15 283 141 84?AO?BC，即AO?OB',AO?OC

又?OB?OC?O?AO?平面BOC (2)在平面BOC内，作BD?OC于点D

则由(1)可知BD?OA，又OC?OA?O?BD?平面OAC 即BD是三棱锥B?AOC的高

又BD?BO?当D与O重合时，三棱锥B?AOC的体积最大

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