COMSOL 弱形式入门

法可以参考COMSOL Multiphysics 的Anisotropic Structural Analysis 中的Matrix Notation。

弹性能积分形式下的单位说明：

最终给出总的积分单位是N·m――能量。

的表达式就是我们通常说的能量泛函，即位移矢量u（或实际上是u

的梯度）的泛函。这种函数的函数，而不是坐标的函数，通常被称为泛函，比单元微积分和多元微积分更加抽象。

与积分类似，我们可以说

就是函数的泛函：

这好比是一个2D的变量x，y的二元函数：

其中x＝，，。

采用这样的类比是因为在后面我们会看到矩阵A与有限元的刚度矩阵比较类似。

我们要说明一下函数和泛函的一些区别，古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系，现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系。函数概念被赋予了更为一般的意义，通俗解释泛函指的就是“函

数的函数”。在这里定义域为，泛函可以在整个定义域内进行微分积分等操

作。

泛函的变量是函数，这个函数也是有容许空间的。如果函数u可以变化，可能会产生一些不符合物理规则的一些现象，例如结构的刚性位移等。比如一个对u的基本约束就是材料不能穿越本身。

在有限元分析中，泛函一般是某种能量积分，比如弹性能。对于其他的物理场，可能是其他的能量积分，或者是一种等效于能量的标量也可以。至于积分区域，一般由分析对象的CAD几何区域所确定。

COMSOL Multiphysics弱形式入门 之三

静态电流传导和能量的生成

静态电流传导和能量的生成

在静态导电问题中，PDE方程由最基本的保守形式开始：

其中J是电流密度。

材料（或本构）模型采用欧姆Ohm定律：

其中E是电场，是电导率。

另外，已知：

其中是静电势，综合以上式子得到

在COMSOL Multiphysics中，这就是所谓的Conductive Media DC方程。

电阻产生的热能

稳态电流的能量问题是在电导体中的电阻热

其中J表示电流强度，E代表电场强度，是一个二阶电导张量(3×3)。如果导体是金属，电导张量一般是一个对角矩阵，如果是晶体，情况就复杂多了。

尽量减少电阻产生的热量，也就是减少热损耗，是我们要研究的一个最小值问题。

如果问题是线性，则积分可以显式地写成：

因为，其中V是电势，可以得到：

将这个式子与结构力学中的式子进行对比，发现他们非常相似。的梯度对应于位移梯度，电导率张量对应于弹性张量。在稳态电流和结构力学的计算过程中，张量形式都可以改写为矩阵形式。

COMSOL Multiphysics弱形式入门 之四

传热PDE方程和能量形式

对于稳态传热问题，PDE形式为：

其中T是温度，k是热传导系数，Q是空间分布的热源。

热能

基于传热方程的典型泛函为：

其中T是温度，k是热传导系数张量（3×3）。

泛函极小值

泛函极值的概念借用了微积分中的不少方法。本节首先会介绍函数微积分的求极值方法，接下来，我们会借用有限元中常用的术语和标注方法来推导我们熟悉的结果。这个过程可以被看作是微积分方法的一种推广。

考虑一个多元微积分函数f，我们要求最小值：

寻找x使得f(x) 最小化

这里x是一个矢量，或者点的坐标。通过微积分我们知道，这个时候首先必须求函数f的梯度。将梯度的设置为0，我们可得到一个非线性方程组。求解方程，我们可以得到一系列的坐标点x，如果在其中某点处的二阶倒数(一般称为Hessian矩阵)为正(或者说有正的特征值)，就说这点就是我们要求的极小点，就好像该点是整个函数的一个谷底一样。

利用Taylor展开的观点，假设已知一个最小值x，我们可以在上面施加一个小的扰动，由Taylor展开可得：

这里H就是前面所说的Hessian矩阵。现在我们用其他的方法来说明函数f在x最小。首先，假设x是一个极值点，当添加了一个 变。换句话说，如果我们在x上添加一个

后，f对于其一阶值不改

来扰动f，其一阶Taylor级数应该

为0。这个条件应该对每个方向都是成立的，否则该点就不是极值点了。如果上式第二项为0：