第4章作业及部分习题参考答案

习题四

4-4 质量为10?10kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x作谐振动，求：

(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；

(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等? (3)t2?5s与t1?1s两个时刻的位相差；

?3?0.1cos(8??2?)3(SI)的规律

解：(1)设谐振动的标准方程为x?Acos(?t??0)，则知：

A?0.1m,??8?,?T??12?1?s,?0?2?/3 ?4?1又 vm??A?0.8?m?s ?2.51m?s

am??2A?63.2m?s?2

(2) Fm?am?0.63N

12mvm?3.16?10?2J 21Ep?Ek?E?1.58?10?2J

2E?当Ek?Ep时，有E?2Ep， 即

12112kx??(kA) 22222A??m 220∴ x?? (3) ????(t2?t1)?8?(5?1)?32?

4-5 一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数

表示．如果t?0时质点的状态分别是：

(1)x0??A；

(2)过平衡位置向正向运动； (3)过x?A处向负向运动； 2A2处向正向运动．

(4)过x??试求出相应的初位相，并写出振动方程．

解：因为 ??x0?Acos?0

?v0???Asin?02?x?Acos(t??)

T2?3x?Acos(t??)

T22??x?Acos(t?)

T32?5x?Acos(t??)

T4将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有

?1???2???3??4??332?35?44-6 一质量为10?10kg的物体作谐振动，振幅为24cm，周期为4.0s，当t?0时位移为?24cm．求：

(1)t?0.5s时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； (2)由起始位置运动到x?12cm处所需的最短时间； (3)在x?12cm处物体的总能量．

解：由题已知 A?24?10m,T?4.0s ∴ ??又，t?0时，x0??A,??0?0 故振动方程为

?22??0.5?Trad?s?1

x?24?10?2cos(0.5?t)m

(1)将t?0.5s代入得

x0.5?24?10?2cos(0.5?t)m?0.17m

F??ma??m?2x??10?10?()?0.17??4.2?10N2方向指向坐标原点，即沿x轴负向． (2)由题知，t?0时，?0?0，

?3?2?3

A?,且v?0,故?t? 23????2?/?s ∴ t??323t?t时 x0?? (3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为

E?121kA?m?2A2221???10?10?3()2?(0.24)2 22?7.1?10?4J4-7 有一轻弹簧，下面悬挂质量为1.0g的物体时，伸长为4.9cm．用这个弹簧和一个质量为8.0g的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开1.0cm后 ，给予向上的初速度

v0?5.0cm?s?1，求振动周期和振动表达式．

解：

m1g1.0?10?3?9.8k???0.2N?m?1 ?2x14.9?10?2?2-1而t?0时，x0??1.0?10m,v0?5.0?10m?s ( 设向上为正)

又 ??k0.22???5,即T??1.26s ?3m?8?10?2A?x0?(v0?)2?225.0?10?22?(1.0?10)?()

5?2?10?2mv05.0?10?25? tan?0????1,即??0x0?1.0?10?2?54∴ x?52?10?2cos(5t??)m

4

4-8 图为两个谐振动的x?t曲线，试分别写出其谐振动方程．

题4-8图

解：由题4-8图(a)，∵t?0时，x0?0,v0?0,??0?3?,又,A?10cm,T?2s 2即 ??2???Trad?s?1

3?)m 2A5?由题4-8图(b)∵t?0时，x0?,v0?0,??0?

23故 xa?0.1cos(?t?t1?0时，x1?0,v1?0,??1?2???2

又 ?1???1?∴ ??55??? 325? 655??t?)m 63故 xb?0.1cos(4-11 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为0.20m，位相与第一振动的位相差为

?，已知第一振动的振幅为0.173m，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振6动的位相差．

题4-11图

解：由题意可做出旋转矢量图如下． 由图知

2A2?A12?A2?2A1Acos30??(0.173)2?(0.2)2?2?0.173?0.2?3/2 ?0.01∴ A2?0.1m 设角AA1O为?，则

2A2?A12?A2?2A1A2cos?

2A12?A2?A2(0.173)2?(0.1)2?(0.02)2cos???即 2A1A22?0.173?0.1?0即???2，这说明，A1与A2间夹角为

??，即二振动的位相差为. 224-12 试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅：

????x?5cos(3t?)cmx?5cos(3t?)cm1?1?33(1) ? (2)?

7?4??x2?5cos(3t??x2?5cos(3t?)cm)cm33??7??解： (1)∵ ????2??1???2?,

33∴合振幅 A?A1?A2?10cm

4?????, 33∴合振幅 A?0

(2)∵ ???4-13 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为

??x?0.4cos(2t?)m?16 ?5?x2?0.3cos(2t??)m6?试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。 解：∵ ????5?(??)?? 66∴ A合?A1?A2?0.1m

5?Asin?1?A2sin?266?3 tan??1??5?A2cos?1?A2cos?230.4cos?0.3cos660.4?sin?0.3sin∴ ??其振动方程为

??6

x?0.1cos(2t?)m

6(作图法略)

?