解析 (1)若k＝1，则有MP＝L，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系，该情况粒子的轨迹半径为 R＝L
v2
粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，则有：qvB0＝m R1
粒子在匀强电场中加速，根据动能定理有：qEd＝mv2
2
22qB0 L
综合上式解得：E＝ 2dm
(2)因为2 由几何关系：R2－(kL)2＝(R－L)2， v2 又有qvB0＝m R qB0?L＋k2L? 则整理解得：v＝ 2m又因为：6L－2kL＝2x kLR 根据几何关系有：＝ xr 2v 又qvB＝m r kB0则Ⅱ区的磁感应强度B与k的关系：B＝. 3－k qB0?L＋k2L?qB0 2L2kB0 答案 (1) (2)v＝ B＝ 2dm2m3－k 23 2．如图4所示的直角坐标xOy平面内有间距为d，长度为d的平行正对金属板M、N，M 3 π 位于x轴上，OP为过坐标原点O和极板N右边缘的直线，与y轴的夹角θ＝，OP与y轴 3之间及y轴右侧空间中分别存在磁感应强度大小相等方向相反且均垂直于坐标平面的匀强磁场．质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M板左侧边缘以速度v0沿极板方向射入，恰好从N板的右侧边缘A点射出进入磁场．粒子第一次通过y轴时，速度与y轴负方向的夹角为π .不计粒子重力，求： 6 图4 (1)极板M、N间的电压； (2)匀强磁场磁感应强度的大小； (3)粒子第二次通过y轴时的纵坐标值； (4)粒子从进入板间到第二次通过y轴时经历的时间． 3mv0 22mv043＋7πd 答案 (1) (2) (3)2d (4)() 2qqd6v0 23 解析 (1)粒子在M、N板间做类平抛运动，设加速度为a，运动时间为t1，则d＝v0t1 3 12d＝at 21 U 根据牛顿运动定律得q＝ma d2 3mv0 联立解得U＝. 2q(2)设粒子经过A点时的速度为v，方向与x轴的夹角为α， 11 根据动能定理，得qU＝mv2－mv0 2 22 v0 cos α＝v π 解得v＝2v0，α＝ 3 设粒子第一次与y轴相交于D点，轨迹如图，由几何关系知D点与A点高度相等，△C1DO为等边三角形． R＝d v2 根据牛顿定律，得qvB＝m R 2mv0 整理得B＝. qd (3)粒子在y轴右侧空间的运动轨迹如图． 由几何关系知 DE＝2Rcos θ＝d 即E点的纵坐标为yE＝2d. (4)粒子从A到D的时间 1t2＝T 3 5 从D到E的时间t3＝T 6 2πmπd而T＝＝ qBv0 43＋7πd 故t＝t1＋t2＋t3＝(). 6v0 3．如图5所示，相距3L的AB、CD两直线间的区域存在着两个大小不同、方向相反的有界匀强电场，其中PT上方的电场Ⅰ的场强方向竖直向下，PT下方的电场Ⅱ的场强方向竖直向上，电场Ⅰ的场强大小是电场Ⅱ的场强大小的两倍，在电场左边界AB上有点Q，PQ间距离为L.从某时刻起由Q以初速度v0沿水平方向垂直射入匀强电场的带电粒子，电量为＋q、质量为m.通过PT上的某点R进入匀强电场Ⅰ后从CD边上的M点水平射出，其轨迹如图，若PR两点的距离为2L.不计粒子的重力．试求： 图5 (1)匀强电场Ⅰ的电场强度的大小和MT之间的距离； (2)有一边长为a、由光滑弹性绝缘壁围成的正三角形容器，在其边界正中央开有一小孔S，将其置于CD右侧且紧挨CD边界，若从Q点射入的粒子经AB、CD间的电场从S孔水平射入容器中．欲使粒子在容器中与器壁多次垂直碰撞后仍能从S孔射出(粒子与绝缘壁碰撞时无机械能和电量损失)，并返回Q点，需在容器中现加上一个如图所示的匀强磁场，粒子运动 1 的半径小于a，求磁感应强度B的大小应满足的条件以及从Q出发再返回到Q所经历的时 2间． mv0 212mv0?1＋2n? 答案 (1) L (2)B＝，n＝1,2，? qL2qa 6L?6n＋1?πa＋，n＝1,2，? v02?2n＋1?v0 解析 (1)设粒子经PT直线上的点R由E2电场进入E1电场，由Q到R及R到M点的时间分别为t2与t1，到达R时竖直速度为vy， 则由F＝qE＝ma， 2L＝v0t2， L＝v0t1， 1E2q2L＝·t ， 2m2E1＝2E2， mv0 2 得E1＝ qLE2qE1qvy＝t2＝t1 mm1E1q2 MT＝·t 2m1 1 联立解得MT＝L. 2 (2)欲使粒子仍能从S孔处射出，粒子运动的半径为r，则 2mv 0 qv0B＝ r1 (1＋2n)r＝a，n＝1,2，? 2 2mv0?1＋2n? 解得：B＝， n＝1,2，? qa TT1 由几何关系可知t′＝3×(2n×＋)＝(3n＋)T 262n＝1,2,3? 2πR2πmT＝v＝ Bq πa 代入B得T＝，n＝1,2，? ?2n＋1?v0 6L?6n＋1?πa t＝2t1＋2t2＋t′＝＋，n＝1,2，? v02?2n＋1?v0 带电粒子在组合场内的运动实际上也是运动过程的组合，解决方法如下： (1)分别研究带电粒子在不同场区的运动规律．在匀强磁场中做匀速圆周运动．在匀强电场中，若速度方向与电场方向平行，则做匀变速直线运动；若速度方向与电场方向垂直，则做类平抛运动． (2)带电粒子经过磁场区域时利用圆周运动规律结合几何关系处理． (3)当粒子从一个场进入另一个场时，分析转折点处粒子速度的大小和方向往往是解题的突破口． 考题3 带电粒子在周期性变化的电磁场中的运动分析 例3 (19分)如图6甲所示，在xOy平面内存在均匀、大小随时间周期性变化的磁场和电场，变化规律分别如图乙、丙所示(规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向、沿y轴正方向电场强度为正)．在t＝0时刻由原点O发射初速度大小为v0，方向沿y轴正方向的带负电粒子． 图6
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