2019重庆中考数学专题复习-二次函数综合题(10道)

二次函数综合题

类型一 线段、周长最值问题

1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－x－2的图象与x轴相交于点A、B，与y轴交于点C，过直线BC的下方抛物线上一动点P作PQ∥AC交线段BC于点Q，再过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点D. （1）求直线AC的解析式；

（2）求△PQD周长的最大值及此时点P的坐标；

（3）如图②，当△PQD的周长最大值时，在y轴上有两个动点M、N(M在N的上方)，连接AM，PN，若MN＝1，求PN＋MN＋AM的最小值．

第1题图

解：（1）令y＝0，即x2－x－2＝0， 解得x1＝－1，x2＝2， ∴A(－1，0)，B(2，0)， 令x＝0，则y＝－2， ∴C(0，－2)，

设直线AC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)， ∵直线过点A、C，

??k＝－2?0??k?b∴?，解得?，

b??2?b＝－2??∴直线AC的解析式为y＝－2x－2； （2）∵BO＝CO，∠BOC＝90°， ∴∠ABC＝45°，∠ACO＝∠EPQ， 1∴tan∠EPQ＝tan∠ACO＝2，

如解图①，过点Q作QH⊥PE，垂足为H.

1

设QH＝a，则PH＝2a，DH＝a，PD=PH+DH=3a，a＝3PD， ∵B（2,0），C（0，-2）， ∴直线BC的解析式为y=x-2， 设P(m，m2－m－2)，D(m，m－2)， ∴PD=m-2-（m2-m-2）=-m2+2m，

5＋2＋3

∴C△PQD＝PQ＋QD＋PD＝(5＋2＋3)a＝PD， 3

5＋2＋35＋2＋35＋2＋322C△PQD＝PD＝(－m＋2m)＝－(m－1)＋3335＋2＋3

， 3

5＋2＋3

∴当m＝1时，△PQD的周长最大，且最大值为，此时P(1，－32)；

（3）把点A向下平移1个单位到点A′，则A′(－1，－1)，如解图②，连接A′P，

∴AM＋MN＋PN的最小值＝A′P＋MN＝5＋1.

第1题解图① 第1题解图②

类型二 与面积有关的问题

12.在平面直角坐标系中，抛物线y??x2?2x?3与x轴交于A、B两点,与y2轴交于点C,连接BC. (1)求直线BC的解析式；

(2)如图①,点P是抛物线上位于第一象限内的一点,连接PC,PB,当△PBC面积最大时,一动点Q从点P出发,沿适当路径运动到y轴上的某个点G再沿

适当路径运动到x轴上的某个点H处,最后到达线段BC的中点F处停止.求当△PBC面积最大时,点P的坐标及点Q在整个运动过程中经过的最短路径的长；

(3)如图②,在(2)的条件下,当△PBC面积最大时,把抛物线 y??x2?2x?3向右平移使它的图象经过点P,得到新抛物线y?,在新抛物线y?上是否存在点E,使△ECB的面积等于△PBC的面积？若存在,请求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.

12 第2题图

12

解:（1）∵抛物线y??x2?2x?3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C, ∴令x=0, 得y=3， ∴C（0,3）， 令y=0，

得0=y??x2?2x?3， 解得x=-2或x=32， ∴B（32，0）， 设直线BC的解析式为y=kx+b，

?32k?b?0∴?， ?b?312?2?k??解得?2， ?b?3?∴直线BC的解析式为y=-122x+3； 2(2)如解图①,设P（m，?m2?2m?3） （0＜m＜32）， 过点P作PM∥y轴交BC于点M,

第2题解图①

∵直线BC的解析式为y=-∴M（m，-2m+3）， 22x+3， 2∴PM=-23232291211m+2m+3-（-m+3）=-m2+m=-（m-）+， 2222224322932322272111PM·xB=[-（m-）+]×32=-（m-）+， 2428222432272时，S△PBC最大，最大值为， 28∴S△PBC=∴当m =∴点P（3232153，），M （，）， 2242∵ B（32，0），C（0,3）， ∴F（323，）， 22∴点M和点F重合, 作点P（32321515，）关于y轴的对称点P?（-，）， 2244323233，）关于x的对称点F?（，-）， 2222再作点F（连接P?F?交y轴于点G,交x轴于点H,连接PG,FH，

27； 411(3) 如解图②,在抛物线y??x2?2x?3=-（x-2）2+4中, 2215151令y =，即=?x2?2x?3， 442此时PG +GH +HF最小,最小值为P?F?=解得x =232或x=， 22由平移知,抛物线y向右平移到y?,则平移了∴y?=-（x-22）2+4=-x2+22x， 设点E（n，-n2+22n）， 过点E作EQ∥y轴交BC于点Q, ∵直线BC的解析式为y =-∴Q（n，-122n+3）， 22x+3， 2322-=2个单位， 22121212∴EQ =?n2?22n?21n-3=n2?52?6， 22∵△ECB的面积等于△PCB的面积, ∴EQ·xB=PM·xB, 由(2)知,PM =-（m-∴PM最大=， ∴EQ =PM最大, ∴129n?52n?6=， 2452?21152?2117232或n=或n =或（舍）， 2222121212329）2+， 2494解得n =∴E（或（52?2119?22252?2119?1822，?）或（，?） 2424727，）. 24

第2题解图②

3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2-x+m的图象交x轴于B、C

1212