大题专项训练5 选考系列
1．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，
?x＝23t＋m，
建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是?1
y＝?2t
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；
(t为参数)．
(2)设点P(m,0)，若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|·|PB|＝1，求实数m的值． 【解析】(1)由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，可得直角坐标方程为x2＋y2＝2x.
?x＝23t＋m，
由?1
y＝?2t
?x＝23t＋m，(2)把?1
y＝?2t
(t为参数)，消去t，得x＝3y＋m.
代入x2＋y2＝2x，
整理得t2＋(3m－3)t＋m2－2m＝0， 由Δ＝(3m－3)2－4(m2－2m)＞0， 解得－1＜m＜3.
由|PA|·|PB|＝1＝|t1t2|，t1t2＝m2－2m， 解得m＝1±2或1，均满足－1＜m＜3. ∴实数m＝1±2或1.
?x＝t，?x＝cos α，??
?2．(2019年河北衡水一模)已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为????y＝mt?y＝1＋sin α
(α为参数)．
(1)若直线l与圆C的相交弦长不小于2，求实数m的取值范围；
(2)若点A的坐标为(2,0)，动点P在圆C上，试求线段PA的中点Q的轨迹方程．
??x＝t，
【解析】(1)由?(t为参数)，消去t，得y＝mx.
??y＝mt??x＝cos α，
由?(α为参数)，消去α， ?y＝1＋sin α?
得x2＋(y－1)2＝1. 圆心到直线l的距离d＝
1
， m＋1
2
1
相交弦长＝21－
， m2＋1
所以211－≥2，解得m≤－1或m≥1. m2＋1
(2)设P(cos α，1＋sin α)，Q(x，y)， 11
则x＝(cos α＋2)，y＝(1＋sin α)，
22
11
y－?2＝. 消去α，整理得线段PA的中点Q的轨迹方程(x－1)2＋??2?4
3．已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－m|(m＞1)，若f(x)＞4的解集是{x|x＜0或x＞4}． (1)求m的值；
(2)若关于x的不等式f(x)＜a2＋a－4有解，求实数a的取值范围． －2x＋m＋1，x<1，
??
【解析】(1)∵m＞1，∴f(x)＝?m－1，1≤x≤m，
??2x－m－1，x＞m.
由f(x)＞4的解集为{x|x＜0或x＞4}，得f(0)＝－2×0＋m＋1＝4，解得m＝3.经检验，符合题意． 4－2x，x<1，
??
(2)由(1)得f(x)＝?2，1≤x≤3，
??2x－4，x＞3，
∴f(x)的最小值为2.
f(x)＜a2＋a－4有解，则2＜a2＋a－4，即a2＋a－6＞0，解得a＜－3或a＞2. ∴a的取值范围为{a|a＜－3或a＞2 }．
y
4．(2019年广西南宁二模)设实数x，y满足x＋＝1.
4(1)若|7－y|<2x＋3，求x的取值范围； (2)若x>0，y>0，求证：xy≥xy.
y
【解析】(1)因为x＋＝1，所以4x＋y＝4，
4即y＝4－4x.
由|7－y|<2x＋3，得|4x＋3|<2x＋3，
即－(2x＋3)<4x＋3<2x＋3，解得－1 (2)x>0，y>0,1＝x＋≥24即xy≤1. xy－xy＝xy(1－xy)， 又0 yx·＝xy， 4 大题专项训练6 圆锥曲线 x2y2 1．已知椭圆C的方程为＋＝1. 416(1)求椭圆C的长轴长及离心率； (2)已知M为椭圆C的左顶点，直线l过(1,0)且与椭圆C交于A，B两点(不与M重合)，求证：∠AMB>90°. x2y2c【解析】(1)椭圆C的方程为＋＝1，a＝4，b＝2，c＝23，∴椭圆C的长轴长为8，离心率e＝＝ 416a3 . 2 (2)证明：由(1)知M(－2,0)． →→→→ ①当直线l的斜率不存在时，A(1,23)，B(1，－23)，MA＝(3,23)，MB＝(3，－23)，MA·MB＝－3<0. ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， →→ 则MA＝(x1＋2，k(x1－1))，MB＝(x2＋2，k(x2－1))． 联立直线l与椭圆的方程，消去y， 得(4＋k2)x2－2k2x＋k2－16＝0， k2－16 ∴x1＋x2＝，x1x2＝. 224＋k4＋k 2k2 －3k2 →→∴MA·MB＝(x1＋2)(x2＋2)＋k(x1－1)·k(x2－1)＝<0. 4＋k2→→ 综上，MA·MB<0恒成立，∠AMB>90°. 2．(2019年山东烟台期末)已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为(0，－3)，(0，3)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于m(m≠0)． (1)求顶点C的轨迹λ的方程，并判断轨迹λ为何种曲线； 3→1→(2)当m＝－时，设点P(0,1)，过点P作直线l与曲线λ交于E，F两点，且FP＝PE，求直线l的方程． 43y＋3y－3 【解析】(1)令C点坐标为(x，y)，则直线AC的斜率k1＝，直线BC的斜率k2＝. xxy－3y＋3y2－3 ∴k1k2＝·＝2＝m， xxxm2y2 化简得－x＋＝1(x≠0)． 33 当m＝－1时，轨迹λ表示以(0,0)为圆心，3为半径的圆，除去(0，－3)，(0，3)两点； 当m＜－1时，轨迹λ表示焦点在y轴上的椭圆，除去(0，－3)，(0，3)两点； 当－1＜m＜0时，轨迹λ表示焦点在x轴上的椭圆，除去(0，－3)，(0，3)两点； 当m＞0时，轨迹λ表示焦点在y轴上的双曲线，除去(0，－3)，(0，3)两点． 3x2y2 (2)当m＝－时，曲线λ为＋＝1(x≠0)． 443当直线l的斜率不存在时，不符合题意． 设直线l的方程为y＝kx＋1，代入椭圆方程，整理得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0. →1→ 设E(x1，y1)，F(x2，y2)，由FP＝PE，得x1＝－3x2. 3－8k－8 ∴x1＋x2＝，x1x2＝. 22 3＋4k3＋4k∴x2＝ 86，x2，消去x2，解得k＝±. 2＝23＋4k23?3＋4k2?4k 6 ∴直线l的方程为y＝±x＋1. 2 3．(2019年湖南湘潭模拟)已知抛物线C1：x2＝2py(p＞0)，O是坐标原点，点A，B为抛物线C1上异于O点的两点，以OA为直径的圆C2过点B. (1)若A(－2,1)，求p的值以及圆C2的方程； (2)求圆C2的面积S的最小值(用p表示)． 【解析】(1)∵A(－2,1)在抛物线C1上， ∴4＝2p，解得p＝2. 1|OA|5－1，?，半径为又圆C2的圆心为?＝， 2??2215 y－?2＝. ∴圆C2的方程为(x＋1)2＋??2?4x1x2 x1，?，B?x2，?， (2)设A?2p?2p??? 2x2x22?2－x1?→?→? 则OB＝?x2，2p?，AB＝?x2－x1，?. 2p??2?x2－x2?x221→→ 由OB·AB＝0，得x2(x2－x1)＋＝0. 4p2 2 2 ∵x2≠0，且x1≠x2，∴x2x2＝－4p2. 2＋x1·4p x2＋?. ∴x1＝－?x2?? 2
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