205年考研数一真题及答案解析(完整版)

2015年考研数学（一）试题解析

一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．

(1)设函数f(x)在???,???内连续，其中二阶导数f??(x)的图形如图所示，则曲线

y?f(x)的拐点的个数为 ( )

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

【答案】（C）

【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由f??(x)的图形可得，曲线y?f(x)存在两个拐点.故选（C）.

(2)设y?e2x?(x?)ex是二阶常系数非齐次线性微分方程y???ay??by?cex的一个特解，则( )

(A) a??3,b?2,c??1 (B) a?3,b?2,c??1 (C) a??3,b?2,c?1 (D) a?3,b?2,c?1

1213【答案】（A）

【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.

【解析】由题意可知，e2x、?ex为二阶常系数齐次微分方程y???ay??by?0的解，所以2,1为特征方程r2?ar?b?0的根，从而a??(1?2)??3，b?1?2?2，从而原方程变为y???3y??2y?cex，再将特解y?xex代入得c??1.故选（A）

??1213(3) 若级数?an条件收敛，则 x?3与x?3依次为幂级数?nan(x?1)n的

n?1n?1( )

(A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B）

【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质.

??【解析】因为?an条件收敛，即x?2为幂级数?an(x?1)n的条件收敛点，所以

n?1n?1?a(x?1)nn?1??n的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，

?故?nan(x?1)的收敛区间还是(0,2).因而x?3与x?3依次为幂级数?nan(x?1)n的

nn?1n?1收敛点，发散点.故选（B）.

(4) 设D是第一象限由曲线2xy?1，4xy?1与直线y?x，y?3x围成的平面区域，函数f?x,y?在D上连续，则??f?x,y?dxdy? ( )

D?(A) ??d??341sin2?12sin2?f?rcos?,rsin??rdr

?(B)??3d??41sin2?12sin2?f?rcos?,rsin??rdr

?(C) ??3d??41sin2?12sin2?f?rcos?,rsin??dr

?(D) ??3d??41sin2?12sin2?f?rcos?,rsin??dr

【答案】（B）

y【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D的图形，

?1sin2?12sin2?ox所以??f(x,y)dxdy???3d??Df(rcos?,rsin?)rdr，

4故选（B）

?1??111????，12a(5) 设矩阵A??b??d?，若集合???1,2?，则线性方程组Ax?b有???14a2??d2?????无穷多解的充分必要条件为 ( )

(A) a??,d?? (B) a??,d?? (C) a??,d?? (D) a??,d??

【答案】(D)

?111【解析】(A,b)???12a?14a2?1??1111????d???01a?1d?1?2??d??00(a?1)(a?2)(d?1)(d?2)??，

由r(A)?r(A,b)?3，故a?1或a?2，同时d?1或d?2.故选（D）

22?y3 (6)设二次型f?x1,x2,x3? 在正交变换为x?Py 下的标准形为2y12?y2 ，其

中P??e1,e2,e3? ，若Q??e1,?e3,e2? ，则f?x1,x2,x3?在正交变换x?Qy下的标准形为( )

22?y3(A) 2y12?y2

22?y3(B) 2y12?y2

22?y3(C) 2y12?y2

22?y3(D) 2y12?y2

【答案】(A)

22【解析】由x?Py，故f?xTAx?yT(PTAP)y?2y12?y2. ?y3?200???T且PAP??010?.

?00?1????100???由已知可得:Q?P?001??PC

?0?10????200???TTT故有QAQ?C(PAP)C??0?10?

?001???22所以f?xTAx?yT(QTAQ)y?2y12?y2.选（A） ?y3(7) 若A,B为任意两个随机事件，则 ( )

(A) P?AB??P?A?P?B? (B) P?AB??P?A?P?B?

P?A?P?B?P?A?P?B? (D) P?AB??

22(C) P?AB??【答案】(C)

【解析】由于AB?A,AB?B，按概率的基本性质，我们有P(AB)?P(A)且

P(AB)?P(B)，从而P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)?P(B)，选(C) .

2(8)设随机变量X,Y不相关，且EX?2,EY?1,DX?3，则E??X?X?Y?2???? ( ) (A) ?3 (B) 3 (C) ?5 (D) 5 【答案】(D)

【解析】E[X(X?Y?2)]?E(X2?XY?2X)?E(X2)?E(XY)?2E(X) ?3?22?2?1?2?2?5，选(D) .

二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置．．．上.

(9) limlncosx?_________. 2x?0x12【答案】?

【分析】此题考查型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换.

?sinxln(cosx)cosx?lim?tanx??1. 【解析】方法一：lim?limx?0x?0x?0x22x2x21?x2ln(cosx)ln(1?cosx?1)cosx?12??1. 方法二：lim?lim?lim?limx?0x?0x?0x?0x2x2x2x22??00 (10) ?2?(2sinx?x)dx?________.

1?cosxπ2【答案】

4【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.

?2sinx???【解析】?2???x?dx?2?2xdx?.

0?4?2?1?cosx?(11)若函数z?z(x,y)由方程ex?xyz?x?cosx?2确定，则dz(0,1)?________.

【答案】?dx

【分析】此题考查隐函数求导.

【解析】令F(x,y,z)?ez?xyz?x?cosx?2，则 又当x?0,y?1时ez?1，即z?0.

?z?xFx?(0,1,0)?z??1,Fz?(0,1,0)?yFy?(0,1,0)?0，因而dzFz?(0,1,0)所以

(0,1)??(0,1)??(0,1)??dx.

(12)设?是由平面x?y?z?1与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则

???(x?2y?3z)dxdydz?__________.

?【答案】

14【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算.

【解析】由轮换对称性，得

1???(x?2y?3z)dxdydz?6???zdxdydz?6?zdz??dxdy，

??0Dz其中Dz为平面z?z截空间区域?所得的截面，其面积为(1?z)2.所以

1111232(x?2y?3z)dxdydz?6zdxdydz?6z?(1?z)dz?3(z?2z?z)dz?. (13) ????????0024??1220L?12Ln阶行列式MMO0022000L0LMM?___________. 22?12【答案】2n?1?2

【解析】按第一行展开得

(14)设二维随机变量(x,y)服从正态分布N(1,0;1,1,0)，则

P{XY?Y?0}?________.

【答案】

12【解析】由题设知，X~N(1,1),Y~N(0,1)，而且X、Y相互独立，从而 ?P{X?1}P{Y?0}?P{X?1}P{Y?0}?????.

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写．．．出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分10分) 设函数f?x??x?aln(1?x)?bxsinx，g(x)?kx3，若f?x?与

g?x?在x?0是等价无穷小，求a,b,k的值.

1122112212【答案】a??1,b??,k??.

1213【解析】法一：原式limx?0x?aln?1?x??bxsinx?1 3kx即1?a?0,b??0,a2a?1 3k法二：limx?0x?aln?1?x??bxsinx?1 3kx因为分子的极限为0，则a??1

?1??limx?0?1?x?2?2bcosx?bxsinx6kx1?1，分子的极限为0，b??

22?2bsinx?bsinx?bxcosx1?x3??1?lim?1，k?? x?06k3?(16)(本题满分10分) 设函数f?x?在定义域I上的导数大于零，若对任意的

x0?I，由线y=f?x?在点x0,f?x0?处的切线与直线x?x0及x轴所围成区域的面积恒为

??4，且f?0??2，求f?x?的表达式.

【答案】f(x)?8. 4?x【解析】设f?x?在点?x0,f?x0??处的切线方程为：y?f?x0??f??x0??x?x0?,

f?x0?令y?0，得到x???x0，

f??x0?12故由题意，f?x0???x0?x??4，即

f?x0?1可以转化为一阶微分方程， f?x0???4，

2f??x0?y211即y??，可分离变量得到通解为：??x?C，

8y8已知y?0??2，得到C?，因此

12111??x?； y82即f?x??8.

?x?4(17)(本题满分10分)

已知函数f?x,y??x?y?xy，曲线C：x2?y2?xy?3，求f?x,y?在曲线C上的最大方向导数.

【答案】3

【解析】因为f?x,y?沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.

fx'?x,y??1?y,fy'?x,y??1?x，

故gradf?x,y???1?y,1?x?，模为此题目转化为对函数g?x,y??最大值.即为条件极值问题.

22?1?y???1?x?，

22?1?y???1?x?在约束条件C:x2?y2?xy?3下的

为了计算简单，可以转化为对d(x,y)??1?y???1?x?在约束条件

C:x2?y2?xy?3下的最大值.

22构造函数：F?x,y,????1?y???1?x????x2?y2?xy?3?

22?Fx??2?1?x????2x?y??0??Fy??2?1?y????2y?x??0，得到M1?1,1?,M2??1,?1?,M3?2,?1?,M4??1,2?. ?22?F???x?y?xy?3?0所以最大值为9?3. (18)(本题满分 10 分)

（I）设函数u(x),v(x)可导，利用导数定义证明[u(x)(vx)]??u?(x)(vx)?u(x)v?(x) （II）设函数u1(x),u2(x),L,un(x)可导，f(x)?u1(x)u2(x)Lun(x)，写出f(x)的求导公式.

【解析】（I）[u(x)v(x)]??limu(x?h)v(x?h)?u(x)v(x)

h?0h（II）由题意得

(19)(本题满分 10 分)

??z?2?x2?y2,已知曲线L的方程为?起点为A0,2,0，终点为B0,?2,0，计

??z?x,????算曲线积分I???y?z?dx??z2?x2?y?dy?(x2?y2)dz.

L【答案】2π 2?x?cos??ππ【解析】由题意假设参数方程?y?2sin?，?:??

22?z?cos?? (20) (本题满11分)

设向量组α,α2,α3内R3的一个基，β1=2α1+2kα3，β2=2α2，β3=α1+?k+1?α3.

1（I）证明向量组?1?2?3为R3的一个基;

（II）当k为何值时，存在非0向量ξ在基α1,α2,α3与基?1?2?3下的坐标相同，并求所有的ξ.

【答案】

【解析】(I)证明： 故β1,β2,β3为R3的一个基.

（II）由题意知，??k1?1?k2?2?k3?3?k1?1?k2?2?k3?3,??0

即k1??1??1??k2??2??2??k3??3??3??0,ki?0,i?1,2,3

即?1+2k?3,?2,?1+k?3?0

10110?0，得k=0

即02k0k (21) (本题满分11 分)

?02?3??1?20?????13?3B=0b0设矩阵A??相似于矩阵????. ?1?2a??031?????(I) 求a,b的值；

（II）求可逆矩阵P，使P?1AP为对角矩阵.. 【解析】(I) A~B?tr(A)?tr(B)?3?a?1?b?1

?02?3??100???12?3???????13?3?010??12?3(II)A?????????E?C ?1?23??001??1?23???????C的特征值?1??2?0,?3?4

??0时(0E?C)x?0的基础解系为?1?(2,1,0)T;?2?(?3,0,1)T ??5时(4E?C)x?0的基础解系为?3?(?1,?1,1)T A的特征值?A?1??C:1,1,5

?2?3?1??10?1令P?(?1,?2,?3)????， ?011????x??2ln2,x?0,(22) (本题满分11 分) 设随机变量X的概率密度为f?x???

x?0.??0,对X 进行独立重复的观测,直到2个大于3的观测值出现的停止.记Y为观测次数.

(I)求Y的概率分布; (II)求EY

【解析】(I) 记p为观测值大于3的概率，则p?P(X?3)??2?xln2dx?，

3??181n?2从而P{Y?n}?Cnp?(n?1)()2()n?2，n?2,3,L ?1p(1?p)1878为Y的概率分布； (II) 法一:分解法:

将随机变量Y分解成Y=M?N两个过程,其中M表示从1到n(n?k)次试验观测值大于3首次发生，N表示从n?1次到第k试验观测值大于3首次发生.

则M~Ge(n,p)，N:Ge(k?n,p)(注：Ge表示几何分布)

E(Y)?E(M?N)?E(M)?E(N)?1122????16. ppp18所以

法二:直接计算

127n?2?777E(Y)??n?P{Y?n}??n?(n?1)()()??n?(n?1)[()n?2?2()n?1?()n]记

88888n?2n?2n?2S1(x)??n?(n?1)xn?2n?2?????1?x?1，则

??S1(x)??n?(n?1)xn?2n?2?(?n?xn?2n?1)??(?xn)???n?22， 3(1?x)S2(x)??n?(n?1)xn?2?n?1?x?n?(n?1)xn?2?xS1(x)?n?2?2x， 3(1?x)S3(x)??n?(n?1)x?xnn?2?2?n?(n?1)xn?2?n?22x2， ?xS1(x)?3(1?x)22?4x?2x22所以S(x)?S1(x)?2S2(x)?S3(x)?， ?3(1?x)1?x从而E(Y)?S()?16.

(23) (本题满分 11 分)设总体X的概率密度为：

其中?为未知参数，x1,x2,L,xn为来自该总体的简单随机样本. (I)求?的矩估计量.

(II)求?的最大似然估计量.

??111??【解析】(I)E(X)??xf(x;?)dx??x?， dx????1??2

781??$?2X?1,令E(X)?X，即?X，解得?21nX??Xi为?的矩估计量；

ni?1(II) 似然函数L(?)??i?1n??1?n,??xi?1??f(xi;?)???， ?1????其他?0,11n?()，则lnL(?)??nln(1??). 1??1??当??xi?1时，L(?)??i?1n从而

dlnL(?)n?，关于?单调增加， d?1??$?min{X,X,L,X}为?的最大似然估计量. 所以?12n文档内容由经济学金融硕士考研金程考研网jjx.gfedu.net 整理发布。