2007年各地中考压轴题汇编（3）
10、（嘉兴）如图，已知A（8，0），B（0，6），两个动点P、Q同时在△OAB的边上按逆时针方向（→O→A→B→
O→）运动，开始时点P在点B位置，点Q在点O位置，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位．
（1）在前3秒内，求△OPQ的最大面积；
（2）在前10秒内，求P、Q两点之间的最小距离，并求此时点P、Q的坐标；
（3）在前15秒内，探究PQ平行于△OAB一边的情况，并求平行时点P、Q的坐标．
y
B xAO 11、（湖北武汉）如图①，在平面直角坐标系中，Rt△AOB≌Rt△CDA，且A(－1，0)、B(0，2)，抛物线y＝ax2＋ax
－2经过点C。
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线(对称轴的右侧)上是否存在两点P、Q，使四边形ABPQ是正方形？若存在，求点P、Q的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图②，E为BC延长线上一动点，过A、B、E三点作⊙O’，连结AE，在⊙O’上另有一点F，且AF＝AE，
AF交BC于点G，连结BF。下列结论：①BE＋BF的值不变；②你判断哪一个结论成立，并证明成立的结论。
y F B A x hE A (第25题图②) O x C O’ G B y BFBG，其中有且只有一个成立，请?AFAGC D (第25题图①)
12、（广东梅州）如图12，直角梯形ABCD中，AB∥CD，?A?90°，AB?6，AD?4，DC?3，动点P从点
A出发，沿A?D?C?B方向移动，动点Q从点A出发，在AB边上移动．设点P移动的路程为x，点Q移
动的路程为y，线段PQ平分梯形ABCD的周长． （1）求y与x的函数关系式，并求出x，y的取值范围； （2）当PQ∥AC时，求x，y的值；
（3）当P不在BC边上时，线段PQ能否平分梯形ABCD的面积？
D C
P
B
若能，求出此时x的值；若不能，说明理由． A Q
图12
解：（1）过C作CE⊥AB于E，则CD?AE?3，CE?4，可得BC?5， 所以梯形ABCD的周长为18． ··································································· 1分 PQ平分ABCD的周长，所以x?y?9， ···················································· 2分 因为0≤y≤6，所以3≤x≤9，
D C 3≤x≤9． · 所求关系式为：y??x?9，·········· 3分
（2）依题意，P只能在BC边上，7≤x≤9． PB?12?x，BQ?6?y，
因为PQ∥AC，所以△BPQ∽△BCA，所以
P
A
Q
B
BPBQ?，得 ······················· 4分 BCBA12?x6?y?，即6x?5y?42， 56 解方程组??x?y?9，8712，y?． · 得x?·········································· 6分 1111?6x?5y?42 （3）梯形ABCD的面积为18． ································································· 7分 当P不在BC边上，则3≤x≤7，
（a）当3≤x?4时，P在AD边上，S△APQ? 如果线段PQ能平分梯形ABCD的面积，则有
1xy． 21·································· 8分 xy?9 ·
2 可得：??x?y?9，?x?3，解得?（x?6，y?3舍去）．···································· 9分
?xy?18.?y?6；1?4(x?4?y)． 2 （b）当4≤x≤7时，点P在DC边上，此时SADPQ? 如果线段PQ能平分梯形ABCD的面积，则有
1?4(x?4?y)?9， 2 可得??x?y?9，此方程组无解．
?2x?2y?17. 所以当x?3时，线段PQ能平分梯形ABCD的面积． ··································· 11分
13、（湖北仙桃）如图①，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4.
（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D、E两点的坐标；
（2）如图②，若AE上有一动点P（不与A、E重合）自A点沿AE方向向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒(0?t?5)，过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE的平行线交DE于点N.求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式；当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，以A、M、E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应时刻点M的坐标.
y y C E B D O 图① A
M D ·P C N E B x O 图② A x 解：（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，
∴在Rt?ABE中，AE?AO?5，AB?4
∴BE?AE2?AB2?52－42＝3 ∴CE?2
∴E点坐标为(2,4)………………………………………………………（2分） 在Rt?DCE中，DC?CE?DE 又∵DE?OD ∴(4?OD)?2?OD 解得：OD?2222225 252 （2）如图①∵PM∥ED ∴?APM∽?AED
5PMAP∴ 又知AP?t，ED＝，AE?5 ?EDAE2t5t∴PM??? 又∵PE?5?t
522而显然四边形PMNE为矩形
t125 ∴S矩形PMNE?PM?PE??(5?t)??t?t…………………（5
22215255S矩形PMNE??(t?)2? 又∵0??5
2282525∴当t?时，S矩形PMNE有最大值（面积单位）…………………（6分）
28（3）（i）若ME?MA（如图①）
在Rt?AED中，ME?MA，?PM?AE,∴P为AE的中点 又∵PM∥ED ， ∴M为AD的中点
15515 ∴AP?AE? ∴AP?t? ∴PM?t?
22224又∵P与F是关于AD对称的两点
55∴xM? ，yM?
2455∴当t?时（0??5），?AME为等腰三角形
2255此时M点坐标为(,)………………………………………………（9分）
24（ii）若AM?AE?5（如图②）
5252225 在Rt?AOD中，AD?OD?AO?()?5?22APAM ∵PM∥ED ，∴?APM∽?AED，∴ ?AEAD1AM?AE5?5 ∴t?AP???25 ∴PM?t?5
52AD52同理可知：xM?5?25 ， yM?5
∴D点坐标为(0,)………………………………………………………（3分） ∴当t?25时（0?25?5），此时M点坐标为(5?25，5)
综合（i）、（ii）可知：t?
分）∴
555或t?25时，以A、M、E为顶点的三角形为等腰三角形，相应M点的坐标为(,)224或(5?25，5)………………………………………（12分）
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