(1)-mg-kv=mdvdt，?t0dt??v?mdvv0mg?kvt?mlnmg?kv0，v?mg(e?m?kt?1)?v?mt0ekkmg?kvk(2)-mg-kv=mvdvmvdvdx，dx??mg?kv令mg?kv?u,du?kdv?k2mdx??mdu?mgduu，?xk20mdx??mgmgdumg?kv(?mdu?)0u?x?mv0m2k?gkln(1?kv0mg）3）?t?mmg?kv0klnmg?kv?当v?0时，t＝mmg?kv0klnmg?k即为到达最高点的时间2－6 质量为m的跳水运动员，从距水面距离为h的
高台上由静止跳下落入水中。把跳水运动员视为质点，并略去空气阻力。运动员入水后垂直下沉，水对其阻力为－bv2，其中b为一常量。若以水面上一点为坐标原点O，竖直向下为Oy轴，求：（1）运动员在水中的速率v与y的函数关系；（2）跳水运动员在水中下沉多少距离才能使其速率v减少到落水速率v0的1/10？（假定跳水运动员在水中的浮力与所受的重力大小恰好相等）
解：运动员入水可视为自由落体运动，所以入水时的速度为
v0?2gh，入水后如图由牛顿定律的
mg-f-F=mamg=Ff=bv2y
v
a=dvdvdt?vdy??bv2?mvdvdyf＝－kv
?y0?bmdy??vdvv0vv?v/m?by/mmg
0e?by?2ghe(2)将已知条件b?0.4m?1m,v?0.1v0代入上式得，y＝－mblnvv＝5.76m0 2－7一物体自地球表面以速率v0竖直上抛。假定空气
对物体阻力的值为f＝－kmv2，其中k为常量，m为物体质量。试求：（1）该物体能上升的高度；（2）物体返回地面时速度的值。
解：分别对物体上抛和下落时作受力分析（如图），
(1)-mg-kmv2=mdvmvdvdt＝dy，?yvdv0dy???vv0g?kv2?y??1g?kv22kln(g?kv2)0?物体达到最高点时，v＝0，故h=y1g?kv20max＝2kln(g)(2)下落过程中，-mg+kmv2=mdvdt＝mvdvdy?0vvdvhdy???0g－kv2?v=v（kv20－1/201?g）
2-8 质量为m的子弹以速度v0水平射入沙土中，设子弹所受阻力f = - kv，k为常数，求：(1) 子弹射入沙土后，
速度随时间变化的函数式；(2) 子弹进入沙土的最大深度。解：（1）由题意和牛顿第二定律可得：
f??kv?mdvdt， 分离变量，可得：?km?dvvdt 两边同时积分，所以：v?v?k0emt
（2）子弹进入沙土的最大深度也就是v=0的时候子弹的位移，则：
由?km?dvvdt 可推出：vdt??mkdv，而这个式子两边积分就可以得到位移：x??vdt??0v?mdv?mmaxv0 。
0kk2-9 已知一质量为m的质点在x轴上运动，质点只受到
指向原点的力f??k/x2，k是比例常数。设质点在
x?A时的速度为零，求质点在x?A/4处的速度的大
（
小。
解：由题意和牛顿第二定律可得：
f??kx2?mdvdt?mdvdxdvdxdt?mvdx 再采取分离变量法可得：?kx2dx?mvdv ，
两边同时取积分，则：?A/4A?kvx2dx??0mvdv 所以：v?6kmA
2-10 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为
F?400?4?105t/3，子弹从枪口射出时的速率为300m/s。设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：（1）子
弹走完枪筒全长所用的时间t；（2）子弹在枪筒中所受力
的冲量I；（3）子弹的质量。 解：（1）由F?400?4?105t/3和子弹离开枪口处合力
刚好为零，则可以得到：F?400?4?105t/3?0算出t=0.003s。
（2）由冲量定义：
I??0.003Fdt??0.003500（400?4?10t/3）dt?400t?2?105t2/30.0030?0.6N?s
I??0.003（3）由动量定理：Fdt??P?mv?0.6N?s所以：0m?0.6/300?0.002kg
2-11 高空作业时系安全带是非常必要的。假如一质量为51.0 kg 的人，在操作时不慎从高空竖直跌落下来，由于安全带的保护，最终使他被悬挂起来。已知此时人离原处的距离为2.0 m ，安全带弹性缓冲作用时间为0.50 s。求安全带对人的平均冲力。
分析 从人受力的情况来看,可分两个阶段：在开始下落的过程中,只受重力作用,人体可看成是作自由落体运动；在安全带保护的缓冲过程中,则人体同时受重力和安全带冲力的作用,其合力是一变力,且作用时间很短．为求安全带的冲力,可以从缓冲时间内,人体运动状态(动量)的改变来分析,即运用动量定理来讨论．事实上,动量定理也可应用于整个过程．但是,这时必须分清重力和安全带冲
力作用的时间是不同的；而在过程的初态和末态,人体的
速度均为零．这样,运用动量定理仍可得到相同的结果．
解 以人为研究对象,按分析中的两个阶段进行讨论．在自由落体运动过程中,人跌落至2 m 处时的速度为
v1?2gh (1)
在缓冲过程中,人受重力和安全带冲力的作用,根据动量定理,有
?F?P?Δt?mv2?mv1 (2)
由式(1)、(2)可得安全带对人的平均冲力大小为
F?mg?Δ?mv?Δt?mg?Δ2ghΔt?1.14?103N
2－12长为60cm的绳子悬挂在天花板上，下方系一质量为1kg的小球，已知绳子能承受的最大张力为20N。试求要多大的水平冲量作用在原来静止的小球上才能将绳子打断？
?I?mv0?0 解：由动量定理得?v?I，
0?m如图受力分析并由牛顿定律得，
T?mg?mv20lT?mg?mv20l?20
?mg??I2/l?20?I?2.47Ns2－13一作斜抛运动的物体，在最高点炸裂为质量相等的两块，最高点距离地面为19.6m。爆炸1.0s后，第一块落到爆炸点正下方的地面上，此处距抛出点的水平距离为100m。问第二块落在距抛出点多远的地面上？(设空气的阻力不计)
解：取如图示坐标系，根据抛体运动规律，爆炸前，物体在最高点得速度得水平分量为
vx10x?t?x1g/2h(1)物体爆炸后，第一块碎片竖直下落的运动方程为y121=h-v1t-2gt当碎片落地时，y1=0,t=t1,则由上式得爆炸后第一块碎片抛出得速度为h-1gt2v1＝2t（2）1又根据动量守恒定律，在最高点处有mv＝10x2mv2x（3）0＝－112mv1?2mv2y?4?联立以上（）－（14）式得爆炸后第二块碎片抛出时的速度分量分别为v2x＝2v0x＝2xg?112h?100msh-1gt2v2y?v21?t?14.7ms?11爆炸后第二块碎片作斜抛运动，其运动方程为
x2＝x1+v2xt2（5）y122=h+v2yt2-2gt2（6）落地时y2?0,由式（5）和（6）可解得第二块碎片落地点得水平位置x2＝500m2－14质量为M的人手里拿着一个质量为m的物体，此人用与水平面成θ角的速率v0向前跳去。当他达到最高点时，他将物体以相对于人为u的水平速率向后抛出。问：由于人抛出物体，他跳跃的距离增加了多少？（假设人可视为质点）（自己算一遍）
解：取如图所示坐标，把人和物视为一系统，当人跳跃到最高点处，在向左抛物得过程中，满足动量守恒，故有
?m+M?v0cos??Mv?m(v?u)式中v为人抛物后相对地面的水平速率，v－u为抛出物对地面得水平速率，得v＝vmu0cos?+m+M人的水平速率得增量为
?v＝v-vmu0 cos?＝m+M而人从最高点到地面得运动时间为t＝v0sin?g所以人跳跃后增加的距离为?x＝?vt＝mv0sin?（m+M）gu2－15铁路上有一静止的平板车，其质量为M，设平板车可无摩擦地在水平轨道上运动。现有N个人从平板车的后端跳下，每个人的质量均为m，相对平板车的速度均为u。问：在下列两种情况下，（1）N个人同时跳离；（2）一个人、一个人地跳离，平板车的末速是多少?所得的结果为何不同，其物理原因是什么?（典型）
解：取平板车及N个人组成的系统，以地面为参考系，平板车的运动方向为正方向，系统在该方向上满足动量守恒。
考虑N个人同时跳车的情况，设跳车后平板车的速度为v，则由动量守恒定律得
0＝Mv+Nm（v－u）
v＝Nmu/(Nm+M) (1)
又考虑N个人一个接一个的跳车的情况。设当平板车上商有n个人时的速度为vn，跳下一个人后的车速为vn－1，在该次跳车的过程中，根据动量守恒有
（M+nm）vn=M vn－1+(n-1)m vn－1+m(vn－1-u) (2) 由式（2）得递推公式
vn－1=vn+mu/(M+nm) (3) 当车上有N个人得时（即N＝n），vN＝0；当车上N个人完全跳完时，车速为v0，
根据式（3）有， vN-1=0+mu/(Nm+M)
vN-2= vN-1+mu/((N-1)m+M) ………….
v0= v1+mu/(M+nm)
将上述各等式的两侧分别相加，整理后得，
Nvmu0＝?n＝1M+nm由于M?nm?M?Nm,n?1,2,3....N故有，v0?v即N个人一个接一个地跳车时，平板车的末速度大于N个人同时跳下车的末速度。这是因为N个人逐一跳离车时，车对地的速度逐次增加，导致跳车者相对地面的速度也逐次增加，并对平板车所作的功也相应增大，因而平板车得到的能量也大，其车速也大。2-16 一物体在介质中按规律x ＝ct3 作直线运动，c为
一常量。设介质对物体的阻力正比于速度的平方：
f??kv2，试求物体由x0 ＝0 运动到x ＝l 时，阻力所
作的功。
分析 本题是一维变力作功问题,仍需按功的定义式
W??F?dx来求解．关键在于寻找力函数F ＝F(x)．根
据运动学关系,可将已知力与速度的函数关系F(v) ＝kv2 变换到F(t),进一步按x ＝ct3 的关系把F(t)转换为F(x),这样,就可按功的定义式求解．
解 由运动学方程x ＝ct3 ,可得物体的速度
v?dxdt?3ct2 按题意及上述关系,物体所受阻力的大小为
F?kv2?9kc2t4?9kc2/3x4/3
则阻力的功为
W??F?dxW??lF?dx??cos180odx???l09kc2/3x4/3dx??272/37/307kcl
2－17一人从10m深的井中提水，起始桶中装有10kg的水，由于水桶漏水，每升高1m要漏去0.2kg的水。求水桶被匀速地从井中提到井口，人所作的功。（典型）
解：水桶在匀速上提的过程中，加速度为0，拉力和重力平衡，在图示坐标下，水桶重力随位置的变化关系为
G＝mg－αgy
其中α＝0.2kg/m,人对水桶的拉力的功为
W??100(mg－?gy）dy＝882J
2－18如本题图所示，A和B两块板用一轻弹簧连接
起来，它们的质量分别为m1和m2。问在A板上需加多大的压力，方可在力停止作用后，恰能使在跳起来时B稍被提起。（设弹簧的劲度系数为k）
解：选取如图所示坐标系，取原点处为重力势能和弹性势能零点，作各种状态下物体的受力图。对A板而言，当施以外力F时，根据受力平衡有
F1＝G1?F(1)当外力撤除以后，由机械能守恒定律得，12ky2-mgy111=2ky22?mgy2y1和y2为M、N两点对原点O的位移。因为F1＝ky1,F2=ky2,G1=m1g上式可以写为，F1-F2=2G1(2)由（）和（12）式可得F＝G1?G2(3)当A板跳到N点时，B板刚被提起，此时弹性力F2?=G2,且F2=F2?,由式（3）可得F＝G1+G2=(m1+m2)g
2－19如本题图所示，质量为m、速度为v的钢球，射向质量为M的靶，靶中心有一小孔，内有劲度系数为k的弹簧，此靶最初处于静止状态，但可在水平面上作无摩擦滑动，求子弹射入靶内弹簧后，弹簧的最大压缩距离。
解：设弹簧得最大压缩量为x0。小球与靶共同运动得速度为v1。由动量守恒定律，有
mv?(m?M)v1(1)又由机械能守恒定律，有1mv2＝1(m?M)v2121?kx0?2? 222由（）式和（12）式可得xmM0＝k（m?M)v习题2－19图
2－20以质量为m的弹丸，穿过如本题图所示的摆锤后，速率由v减少到v/2。已知摆锤的质量为M，摆线长度为l，如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动，弹丸的速度的最小值应为多少？
解：
由水平方向的动量守恒有，mv＝mv2?Mv'(1)为了使摆锤能在垂直平面内作圆周运动，在最高点时，摆线中的张力F=0,则，Mg＝Mv'2hl(2)
式中v'h为摆线在圆周最高点的运动速率。又由机械能守恒定律得12Mv'2＝2Mgl+12Mv'2h（3）解上述三个方程，可得担丸所需速率的最小值为v＝2Mm5gl2－21如本题图所示，一质量为M的物块放置在斜面的最底端A处，斜面的倾角为α，高度为h，物块与斜面的滑动摩擦因数为μ，今有一质量为m的子弹以速度v0 沿水平方向射入物块并留在其中，且使物块沿斜面向上滑动，求物块滑出顶端时的速度大小。
解：
在子弹与物块的撞击过程中，在沿斜面的方向上，根据动量守恒有mv0cos??(M?m)v1(1)在物块上滑的过程中，若令物块刚滑出斜面时的速度为v2，并取A点的重力势能为0。由系统的功能原理可得－u(m+M)gcos?hsin??1122(m+M)v22?(m+M)gh-2(m+M)v1?2?由（）、（12）式可得vm22＝（m+Mv0cos?）?2gh（ucot?+1）
2-22 如图2-40所示，在光滑水平面上，平放一轻弹簧，弹簧一端固定，另一端连着物体A、B，图2-40 习题2-22 图 它们质量分别为mA和mB，弹
簧劲度系数为k，原长为l。用力推B，使弹簧压缩x0，然后释放。 求：（1）当A与B开始分离时，它们的位置和速度；（2）分离之后，A还能往前移动多远? 解：（1）当A和B开始分离时，两者具有相同的速度，
根据能量守恒，可得到：
12(mm212A?B)v?2kx0，所以：v?kmmx0; x?l
A?B（2）分离之后，A的动能又将逐渐的转化为弹性势能，所以：
1m21mAv?A22kx2 ，则： xA?mx0
A?mB2-23 如图2-41所示，光滑斜面与水平面的夹角为?=30°，轻质弹簧上端固定。今在弹簧的另一端轻轻地挂上质量为M= 1.0kg的木块，木块沿斜面从静止开始向下滑动。当木块向下滑x=30cm时，恰好有一质量m=0.01kg的子弹，沿水平方向以速度v?200m/s射中木块并陷在其中。设弹簧的劲度系数为k?25N/m。求子弹打入木块后它们的共同速度。
解：由机械能守恒条件可得到碰撞前木快的速度，碰撞过程中子弹和木快沿斜面方向动量守恒，（瞬间）可得：
12Mv112?2kx2?Mgxsin??v1?0.83 (碰撞前木快的速度)
Mv1?mvcos??（m?M）v??v???0.89
2－24 二质量相同的小球，一个静止，另一个以速度0与静止的小球作对心碰撞，求碰撞后两球的速度。（1）
假设碰撞是完全非弹性的；（2）习题2－21图
假设碰撞是完全弹性的；（3）假设碰撞的恢复系数e?0.5。
解：由碰撞过程动量守恒以及附加条件，可得
（1）假设碰撞是完全非弹性的，即两者将以共同的速度前行：mv0?2mv
所以：v?12v0 （2）假设碰撞是完全弹性的，
mv0?mv1?mv2
12mv2?12mv21201?2mv2 两球交换速度， v1?0v2?v0
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