的速率为
vB，以B点为重力势能零点，则有
12I?211200?mgR?2(I20?mR)?2?2mvB ②
联立①、②两式，得
v2gR?I220?0RB?I0?mR2
(2)当小球滑至C点时，∵Ic?I0 ∴?c??0 故由机械能守恒，有(A、C两点没有转动，所以转动惯量
回到初始状态，
Ic?I0)
mg(2R)?12mv2c
∴ vc?2gR
3－16一长为2L的均匀细杆，一端靠墙上，另一端放在的水平地板上，如本题图所示，所有的摩擦均可略去不计，开始时细杆静止并与地板成θF1 0角，当松开细杆O 后，细杆开始滑下。问细杆
x 脱离墙壁时，细杆与地面的
F夹角θ为多大？ ymg 2 ? 解：如图，以初始细杆的质
心为原点建立坐标系，则任意时刻质心坐标为
x?l(co?s?co?s0)
y?l(sin??sin?0)（1）
?vx?dxdt??l?sin??0 ax?dvxdt??l?2cos??lsin?d?dt（2） 取初始位置的势能为零，则根据机械能守恒有
mgy?12mv21C?2JC?2（3）（掉下了y，转化为.......） 将式（1）代入（3）得?2?3g(sin??sin?0)2l（4）
d?3dt??g4lcos?（5） 当细杆与墙壁脱离接触时，F1?max?0
?ax?0（6）
将式（4）、（5）、（6）代入（2）解得
??arcsin(23sin?0)
3－17如本题图所示，A、B两个轮子的质量分别为m1和m2，半径分别A 为r1和r2。另有一细绳绕在两轮上，并按图所示连r1 O 接。其中A轮绕固定轴O转动。试求：（1）B轮下F 落时，其轮心的加速度；（2）细绳的拉力。
y 解：如图，取竖直向下为F 正方向。轮A作定轴转动，B C r2设其角加速度为?A，根据转动定理有
m2g Fr1?12m21r1?A 轮B作平面运动，设质心加速度为aC，角加速度为?B， 根据牛顿定律有m2g?F?m2aC 根据转动定理有Fr122?2m2r2?B A轮边缘一点加速度aA?r1?A
B轮边缘一点加速度aB?r2?B 而
且
aA?aC?aB?a(m1?m2)C?23mmg，
1?22F?m1m23mmg
1?223－18如本题图所示，一长为l的
l 均质杆自水平放置的初始位置平h 动自由下落，落下h距离时与一竖直固定板的顶部发生完全弹性碰撞，杆上碰撞点在距质心C为l/4处，求碰撞后瞬间的质心速率习题3-18图
和杆的角速度。 解：
由机械能守恒 mgh?1212mvc?2Jω2
其中J为绕质心转动惯量J?112ml2 由动量定理 F?t?mvc?(?m2gh)
由角动量定理 F(l4)?t?Jω?112ml2ω 联立解得 v124c?72gh， ω?7l2gh
第4章 真空中的静电场
4－1 在边长为a的正方形的四角，依次放置点电荷q,2q,-4q和2q，q 2q 它的几何中心放置一个单位正电荷，求这个电荷受力的大小和方向。
解：如图可看出两2q的电荷对单
2q -4q 位正电荷的在作用力将相互抵消，习题4－1图
单位正电荷所受的力为
F?q)＝
5q4??2(1?42??a2,方向由q指向-4q。 00(2a)24－2 如图，均匀带电细棒，长为L，电荷线密度为λ。（1）求棒的延长线上任一点P的场强；(2)求通过棒的端点与棒垂直上任一点Q的场强。
dq 0x ?
d? P
习题4－2 图a
解：（1）如图7－2 图a，在细棒上任取电荷元dq，建立如图坐标，dq＝?d?，设棒的延长线上任一点P与坐标
原点0的距离为x，
dE??d??d?4??0(x??)2?4??0(x??)2
则整根细棒在P点产生的电场强度的大小为
E??Ld?4??(x??)2??110?04??(?)0x?Lx
y d? y Q ?dq0 0 dx Px
习题4－2 图b
＝
?L4??0x(x?L)方向沿?轴正向。
（2）如图7－2 图b，设通过棒的端点与棒垂直上任一点Q与坐标原点0的距离为y，dE??dx4??r2 0dEdxy??4??r2cos?，
0dE?dxx?4??2sin?
0r因x?ytg?,dx?yd?cos2?,r?ycos?，
代入上式，则
E???0x???dEx?4??0y?0sin?d?
???4??(1?cos?)＝??(1?100y4??0yy2?L2)，方
向沿x轴负向。
E???0y??dEy4??y?0cos?d?
0??4??sin??L0＝
0y4??y2?L2 0y4－3 一细棒弯成半径为R的半圆形，均匀分布有电
荷q，求半圆中心O处的场强。
解：如图，在半环上任取dl=Rd?的线元，其上所带的电荷为dq=?Rd?。对称分析Ey=0。
y dEx??Rd?4??2sin? 0Rd? ? E??dE?R ?x
x?4??sin0R?0? ? dE ??2??
习题4－3图
0R?q2?2?，如图，方向沿x轴正向。
0R24－4 如图线电荷密度为λ1的无限长均匀带电直线λ1 与另一长度为l、线0 a d电荷密度为λq λ2 x 2的均匀带电直线在同一平面内，二者互相习题4－4图
垂直，求它们间的相互作用力。
解：在λ2的带电线上任取一dq，λ1的带电线是无限长，它在dq处产生的电场强度由高斯定理容易得到为，
E??12?? 0x两线间的相互作用力为
F??dF???1?2dx??1?2l2??0x2?dx??0ax
?1?22??lna?l,如图，方向沿x轴正向。 0a4－5 两个点电荷所带电荷之和为Q，问它们各带电荷多少时，相互作用力最大？
解：设其中一个电荷的带电量是q，另一个即为Q－q，若它们间的距离为r，它们间的相互作用力为
F?q(Q?q)4??2 0r相互作用力最大的条件为
dFdq?Q?2q4??2?0 0r由上式可得：Q=2q，q=Q/2 4－6 一半径为R的半球壳，均匀带有电y 荷，电荷面密度为σ，求球心处电场强度的大小。
r 解：将半球壳细割为诸多细环带，其上带电o ? 量为
习题4－6图 dq??2?rRd???2?R2sin?d?
dq在o点产生的电场据（7－10）式为
dE?ydq4??3，y?Rcos? 0R?3E??dE??0?2?Rsin?04??cos?d?
0R3??2??22?sin?d(sin?)????0?0?sin02?0204?。如图，0方向沿y轴负向。
4－7 设匀强电场的电场强度E与半径为R的半球面对称轴平行，计算通过此半球面电场强度的通量。 解：如图，设作一圆平面S1盖住半球面S2，
成为闭合曲面高斯，对此高斯曲面电通量为0， SS1 E
2 即
?E??dS???E??dS???E??dS??0习题4－7图
SS1S2
??dS????E??dS?S1??E???E?R2
S1S24－8 求半径为R，带电
量为q的空心球面的电场强度
R 分布。
0 r 解： 由于电荷分布具有球
对称性，因而它所产生的电场
习题4－8图 分布也具有球对称性，与带电
球面同心的球面上各点的场强E的大小相等，方向沿径向。在带电球内部与外部区域分别作与带电球面同心的高斯球面S1与S2。对S1与S2，应用高斯定理，即先计算场强的通量，然后得出场强的分布，分别为
???E?dS?E4?r2?0
S1得 E内?0 （r ???E?dS?E4?r2?q，Eq外?S2?04??2r? (r>R) 0r4－9 如图所示，厚度为d的“无限大”均匀带电平板，体电荷密度为ρ，求板内外的电场分布。 4－11 带电为q、半径为R1的导体球，其外同心地放一金属球壳，球壳内、外半径为R2、R3。 d （1）球壳的电荷及电势分布； （2）把外球接地后再绝缘，求外球壳的电荷及球壳内外电势分布； （3）再把内球接地，求内球的电荷及外球壳的电势。 解：（1）静电平衡，球壳内表面带－q，外表面带q电荷。 据 （ 7 － 23 ） 式 的 结 论 得 ： q -q q o R1 R2 E 解:带电平板均匀带电，在 x 0 厚度为d/2的平分街面上电场 强度为零，取坐标原点在此街 习题4－9图 面上，建立如图坐标。对底面 积为A，高度分别为x x>d/2的高斯曲面应用高斯定理，有 R3 习题4－11图 ?Ax ???E?dS?EA??0S1V1?q4??0(???d得 E1?xi (x?) ?02111??)(r?R1), R1R2R3V2????E?dS?EA?S2?A?0d2 111(??)(R1?r?R2); 4??0rR2R3q4??0R3q4??0rq4??0(R2?r?R3), qV3????dE2＝di (x?)2?024－10 一半径为R的无限长带电圆柱，其体电荷密度为??o r V4?(r?R3). 11?)(r?R1), R1R2?0r(r?R)，（2）U1?(ρ0为常数。求场强分布。 解： 据高斯定理有 ??1E?dS?E2?rl??SV2??0V??dV 11(?)(R1?r?R2);4??0rR2q习题4－10图 r?R时：E2?rl??2?lkk?0?r?2?r?ldr?0rV3?0(R2?r?R3),V4?0(r??R3). （3）再把内球接地，内球的电荷及外球壳的电荷重新分布设静电平衡，内球带q/，球壳内表面带－q/，外表面带q/－q。 ?0?r0r?2dr? ?kr2?2?lkr3E2?rl??E?en 3?0?03V1?R14??0(q?q?q??q??)(r?R1), R1R2R3r?R时：E2?rl?k?0?r?2?r?ldr??0R2?lk?0?0r?2dr? 得：q??R1R2q R2R3?R1R3?R1R2?kR3?2?lkR3E2?rl??E?en ?033?0rV?q??q(R1?R2)q34??R?034??0(R2R3?R1R3?R1R2)(R2?r?R3) 4－12 一均匀、半径为R的带电球体中，存在一个球形空腔，空腔的半径r(2r 证明：利用补缺法，此空腔可视 为同电荷密度的一个完整的半 习题4－12图 径为R 的大球和一个半径为r 与大球电荷密度异号完整的小球组成，两球在腔内任意点P产生的电场分别据〔例7－7〕结果为 E11??r3?, E?r22??3? 00E=E1+E2= ?r13???r2 03?0??3?oo? 0上式是恒矢量，得证。 4－13 一均 匀带电的平面圆 R环，内、外半径分o Rp 别为Rx 1、R2，且电荷面密度为σ。一 质子被加速器加 习题4－13图 速后，自圆环轴线上的P点沿轴线射向圆心O。若质子到达O点时的速度恰好为零，试求质子位于P点时的动能EK。（已知质子的带电量为e，忽略重力的影响，OP=L） 解：圆环中心的电势为 VR2?2?rdr0??R14??r??2?(R2?R1) 00圆环轴线上p点的电势为V2?rdrP??R2?R4??22 10r?L??r2?R2?2?L2?(R220R12?2?L2?R1?L2) 0质子到达O点时的速度恰好为零有 E0?EP?Ek?Ek?E0?Ep Ek?eV0?eVp??e?2?(R)?e(R22?R12?L2?R21?L2) 02?0??e(R222?2?R1?R2?L2?R21?L) 04－14 有一半径为R 的带电球面，带电量为Q， Q dr 球面外沿直径方向上放置o r 一均匀带电细线，线电荷密度为λ，长度为L（L>R），习题4－14图 细线近端离球心的距离为 L。设球和细线上的电荷分布固定，试求细线在电场中的电势能。 解：在带电细线中任取一长度为dr的线元，其上所带的电荷元为dq=?dr，据（7－23）式带电球面在电荷元处产生的电势为V?Q4?? 0r电荷元的电势能为: dW?Q?dr4?? 0r细线在带电球面的电场中的电势能为： W??dW??2LQ?drL4???Q?ln2 0r4??0*4－15 半径为R的均匀带电圆盘，带电量为Q。过盘心垂直于盘面的轴线上一点o p x P到盘心的距离为L。试求P点的电势并利习题4－15图 用电场强度与电势的梯度关系求电场强度。 解：P到盘心的距离为L，p点的电势为 VR?2?rdrP??04??20r?L2 ??r2?L2R2???002?(R22?L2?L) 0圆盘轴线上任意点的电势为
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