2020高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1讲直线的倾斜角与斜率增分练

2019年

【2019最新】精选高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1讲直线

的倾斜角与斜率增分练

板块四 模拟演练·提能增分

[A级 基础达标]

1.直线x＋y＋1＝0的倾斜角是( ) A. B. C. D.答案 D

解析 由直线的方程得直线的斜率k＝－，设倾斜角为α，则tanα＝－，所以α＝.

2.[2018·沈阳模拟]直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足( )

A.ab>0，bc<0 C.ab<0，bc>0 答案 A

解析 由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－x－.易知－<0且－>0，故ab>0，bc<0.

3.[2018·邯郸模拟]过点(2,1)，且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小的直线方程是( )

A.x＝2 B．y＝1 C．x＝1 D．y＝2 答案 A

解析 ∵直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为.依题意，所求直线的倾斜角为－＝，斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x＝2.

4.已知三点A(2，－3)，B(4,3)，C在同一条直线上，则k的值为( ) A.12 B．9 C．－12 D．9或12 答案 A

解析 由kAB＝kAC，得＝， 解得k＝12.故选A.

5.[2018·荆州模拟]两直线－＝a与－＝a(其中a是不为零的常数)的图象可能

5π

6

B．ab>0，bc>0 D．ab<0，bc<0

2019年

是( )

答案 B

解析 直线方程－＝a可化为y＝x－na，直线－＝a可化为y＝x－ma，由此可知两条直线的斜率同号．故选B.

6.[2018·安徽模拟]直线l：xsin30°＋ycos150°＋1＝0的斜率是( ) A. B. C．－ D．－3答案 A

解析 设直线l的斜率为k，则k＝－＝.

7.直线xcosα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是________． 答案 ∪??

?

5π

，π?? 6?

3

解析 设直线的倾斜角为θ，依题意知，θ≠，k＝－cosα，∵cosα∈[－1,1]，∴k∈，即tanθ∈.又θ∈[0，π)，∴θ∈∪??

?

5π

，π?? 6?

8.已知实数x，y满足方程x＋2y＝6，当1≤x≤3时，的取值范围为________．

?答案 ∪??2，＋∞?

??

1

解析 的几何意义是过M(x，y)，N(2,1)两点的直线的斜率，因为点M在x＋2y＝6的图象上，且1≤x≤3，所以可设该线段为AB，且A，B，由于kNA＝－，kNB＝，所以的取值范围是∪.

9.过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________． 答案 y＝－x或x－y＋8＝0

解析 (1)当直线过原点时，直线方程为y＝－x；

(2)当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，即x－y＝a，代入点(－3,5)，得a＝－8，即直线方程为x－y＋8＝0.

10.[2018·衡阳模拟]一条直线经过点A(2，－)，并且它的倾斜角等于直线y＝x的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是________．

答案 x－y－3＝0

解析 解法一：∵直线y＝x的倾斜角为30°， 所以所求直线的倾斜角为60°，

2019年

即斜率k＝tan60°＝. 又该直线过点A(2，－)，

故所求直线为y－(－)＝(x－2)， 即x－y－3＝0.

解法二：设直线y＝x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角θ＝2α. tanθ＝tan2α＝＝＝. 所求直线为x－y－3＝0.

[B级 知能提升]

1.[2018·海南模拟]直线(1－a2)x＋y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A. C.∪ 答案 C

解析 直线的斜率k＝－(1－a2)＝a2－1，∵a2≥0，∴k＝a2－1≥－1.由倾斜角和斜率的关系(如图所示)，该直线倾斜角的取值范围为∪.

2.已知点A(－1,0)，B(cosα，sinα)，且|AB|＝，则直线AB的方程为( ) A.y＝x＋或y＝－x－

3 3

B.??0，?

3π?? 4?

D.∪??2，?

π3π?

? 4?

B.y＝x＋或y＝－x－3D.y＝x＋或y＝－x－答案 B

C.y＝x＋1或y＝－x－1

2

解析 由|AB|＝＝＝，得cosα＝，所以sinα＝±，所以直线AB的斜率kAB＝＝＝或kAB＝＝＝－，所以直线AB的方程为y＝±(x＋1)，即直线AB的方程为y＝x＋或y＝－x－.选B.

3.[2018·宁夏调研]若ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为________．

答案 16

解析 根据A(a,0)，B(0，b)确定直线的方程为＋＝1，又C(－2，－2)在该直线上，故＋＝1，所以－2(a＋b)＝ab.又ab>0，故a<0，b<0.

2019年

根据基本不等式ab＝－2(a＋b)≥4，从而≤0(舍去)或≥4，故ab≥16，当且仅当a＝b＝－4时取等号，即ab的最小值为16.

4.在△ABC中，已知A(1,1)，AC边上的高线所在直线方程为x－2y＝0，AB边上的高线所在直线方程为3x＋2y－3＝0.求BC边所在直线方程．

解 kAC＝－2，kAB＝.

∴AC：y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，

AB：y－1＝(x－1)，即2x－3y＋1＝0.

由得C(3，－3)． 由得B(－2，－1)． ∴BC：2x＋5y＋9＝0.

5.过点P(2,1)作直线l，与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求： (1)△AOB面积的最小值及此时直线l的方程；

(2)求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程； (3)求|PA|·|PB|的最小值及此直线l的方程．

解 (1)解法一：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，则可得A，B(0,1－2k)． ∵与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点， ∴?k<0.

于是S△AOB＝·|OA|·|OB|

?＝··(1－2k)＝2??4－k－4k?

??

1

1

≥＝4.

当且仅当－＝－4k，即k＝－时，△AOB面积有最小值为4，此时，直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.

解法二：设所求直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，则＋＝1.

又∵＋≥2?ab≥4，当且仅当＝＝，即a＝4，b＝2时，△AOB面积S＝ab有最小值为4.

此时，直线l的方程是＋＝1，即x＋2y－4＝0. (2)解法一：∵A，B(0,1－2k)(k<0)，

∴截距之和为＋1－2k＝3－2k－≥3＋2＝3＋2.

2019年

当且仅当－2k＝－，即k＝－时，等号成立．

故截距之和最小值为3＋2，此时l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－2－2＝0.

解法二：∵＋＝1，

∴截距之和a＋b＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2. 此时＝，求得b＝＋1，a＝2＋. 此时，直线l的方程为＋＝1， 即x＋2y－2－2＝0.

(3)解法一：∵A，B(0,1－2k)(k<0)， ∴|PA|·|PB|＝·＝≥ ＝4.

当且仅当＝4k2，即k＝－1时上式等号成立，故|PA|·|PB|最小值为4，此时，直线l的方程为x＋y－3＝0.

解法二：设∠OAB＝θ， 则|PA|＝，|PB|＝＝，

∴|PA|·|PB|＝＝，当sin2θ＝1，θ＝时，|PA|·|PB|取得最小值4，此时直线l的斜率为－1，又过定点(2,1)，∴其方程为x＋y－3＝0.

4

＋4k2＋8 k2