关于matlab中噪声功率谱密度与方差之间的关系的理解

关于matlab中噪声功率谱密度与方差之间的关系的理解

1. 连续时间系统

高斯白噪声的定义为：如果一个噪声，它的幅度分布服从高斯分布，而它的功率谱密度又是均匀分布的，则称它为高斯白噪声。

故对于连续时间系统，理想的高斯白噪声的功率谱密度是一个常数，设为n0，而带宽是无限宽的，其功率为：

n0*???

（1）

在n0不是为无穷小的情况下，理想的噪声功率Pn是无限大的。 而实际当中，噪声带宽是有限宽的，只需要在我们所关心的频带范围内，噪声功率谱密度是个常数，则我们可认为其是高斯白噪声。设噪声单边功率谱密度为n0，低通带宽为W，则其噪声功率为：

如图1.1所示：

Pn?n0*W 2幅度（2）

n02-WoW频率/HZ

图1.1

我们知道，高斯白噪声的分布为X~N(0,?)，则其功率为：

2

故对于低通系统有：

Pn?E(x2)?D(x)?E2(x)?D(x)??2 （3）

而对于带通系统，如图1.2所示，有：

n0??2/W 2Pn?n0*2W?n0*W??2 2（4）

（5）

幅度n02o-WW频率/HZ

2. 离散时间系统

对于离散时间系统而言，带宽受到抽样速率fs的限制。设WGN一秒内抽取的一组数据样本为：

2.1理论分析

由于时间为单个的离散点，故理想功率为0；但有下列定义：对于序列x[n]的能量E定义为序列各抽样值的平方和，则数据样本的能量为：

x[n]?x1,x2,....xfs

E(x[n])?0;D(x[n])?E(x2[n])??2

E??x(n)?fs*E[x(n)2]?fs*?2

1fs2（6）

将功率定义为序列能量除以序列的时间，即

P?E??2*fs Tb（7）

式中，Tb为序列时间，此处等于1S。

2.2另一种理解

而实际当中，抽样点是一个时间段，认为Ts?1/fs时间内的幅值就等于此抽样时刻的幅值，则噪声能量为：

则噪声功率为：

Et?E*Ts?fs*Ts*?2??2

2222Pn?E{n12[n]*Ts?n2[n]*Ts?n3[n]*Ts?n4[n]*Ts?......nS[n]*Ts}（6）

?fs*E[N2]*Ts?E[N2]??2

高斯白噪声经过抽样之后，其带宽如下所示：

幅度-Fs-W-W-fsofsWFs+W频率/HZ

故抽样之后功率谱密度仍然为常数，设此时的功率谱密度为n0，其带宽为fs/2，故其功率为：

fspn?n0*??2 （6）

23. 结论

故在连续系统跟离散系统中，噪声功率谱密度与方差的实际关系可以认为是相同的。