2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）
理科数学
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑.
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域内均无效.
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
5、 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的. 1.设集合，,则
（A） （B） （C） （D） 2.设，其中是实数，则
（A） （B）
（C）
（D）
3.已知等差数列前9项的和为27，，则 （A）100 （B）99 （C）98 （D）97
4.某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 1123（A） （B） （C） （D）
3234
5.已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是 （A） （B） （C） （D）
6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条
相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是 （A） （B） （C） （D） 7.函数在的图像大致为
（A）
（C）
（B）
（D）
8.若,则
（A） （B） （C） （D）
9.执行右面的程序框图,如果输入的,则输出x,y的值满足 （A） （B） （C） （D）
10.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.已知|AB|=,|DE|=,则C的焦点到准线的距离为
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
11.平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,//平面CB1D1,
平面ABCD=m,平面AB B1A1=n,则m、n所成角的正弦值为
(A) (B) (C) (D)
12.已知函数 为的零点,为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为 （A）11 （B）9 （C）7 （D）5 二、填空题：本大题共3小题,每小题5分
13.设向量a=(m,1)，b=(1,2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m= ．
否 开始输入x,y,nn-1x=x+，y=ny2x2+y2≥36？是 n=n+1输出x,y结束14.的展开式中，x3的系数是 ．（用数字填写答案）
15.设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2 …an的最大值为 ． 16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元． 三.解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分为12分）
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （I）求C；
（II）若，的面积为，求的周长．
18.（本小题满分为12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是． （I）证明：平面ABEF平面EFDC； （II）求二面角E-BC-A的余弦值．
19.（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
（I）求的分布列；
（II）若要求,确定的最小值；
（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在与之中选其一,应选用哪个？
20.（本小题满分12分）设圆的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交AD于点E. （I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.
21.（本小题满分12分）已知函数有两个零点.
(I)求a的取值范围； (II)设x1,x2是的两个零点,证明：.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，△OAB是等腰三角形，△AOB=120°.以O为圆心，OA为半径作圆. (I)证明：直线AB与△O相切；
(II)点C，D在△O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB△CD.
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