34【1.3】金属钾的临阈频率为5.464×10-14s-1，如用它作为?ph6.626?10?Jsx??x?10?6m光电极的阴极当用波长为300nm的紫外光照射该电池时，?6.626?10?28Jsm?1 发射光电子的最大速度是多少？
在104V的加速电压下，电子的动量为：
hv?hv10?mv2px?m?x?2meV解：2
?2?9.109?10?31kg?1.602?10?19C?104V????2h?v?v0?1?2?5.402?10?23Jsm?1
?m??1由Δpx和px估算出现第一衍射极小值的偏离角为：
?8?1?2?6.626?10?34Js??2.998?10ms2?5.464?1014s?1???arcsin??arcsin?p???x???300?10?9m?px??9.109?10?31??6.626?10?28Jsm?1?kg??arcsin???
?5.402?10?23Jsm?1??1arcsin10?5???2?6.626?10?34Js?4.529?1014s?1?2?9.109?10?31kg???0o ?8.12?105ms?1
这说明电子通过光栅狭缝后沿直线前进，落到同一个点
上。因此，用光学光栅观察不到电子衍射。
【1.4】计算下列粒子的德布罗意波的波长： ??ax?d222?（a）
质量为10kg，运动速度为0.01m·s【1.11】??xe2是算符?dx2?4ax?-10
-1
?的本征函数，的尘埃；
求其本征值。
（b） 动能为0.1eV的中子； 解：应用量子力学基本假设Ⅱ（算符）和Ⅲ（本征（c）
动能为300eV的自由电子。
函数，本征值和本征方程）得：
?解：根据关系式： ?d2?d222?22??ax2?dx2?4ax??????dx2?4ax?xe?
(1)
?d2?ax222?ax2dx2xe?4ax??xe??h?6.626?10?34J?s22 mv10?10kg?0.01m?s?1?6.626?10?m
?d (2)??hhdx?e?ax2?2ax2e?ax2??4a2x3e?ax2p?2mT??2axe?ax2?4axe?ax2?4a2x3e?ax2?4a2x3e?ax2
?34?6.626?10J?s??6axe?ax22?1.675?10?27kg?0.1eV?1.602?10?19J??eV??1??6a?
?9.403?10-11m 因此，本征值为
?6a。
(3) ??hhdp?2meV【1.13】eim?i和cosm?对算符d?是否为本征函数？若
?34 ?6.626?10J?s2?9.109?10?31kg?1.602?10?19C?300V是，求出本征值。
?7.08?10?11mideim??ieim?
解：d?，im??meim?
【1.7】子弹（质量0.01kg，速度1000m·s-1），尘埃（质d量10-9
kg，速度10m·s-1
）、作布郎运动的花粉（质量10-13
kg，所以，eim?i是算符d?的本征函数，本征值为
?m。
速度1m·s-1）、原子中电子（速度1000 m·s-1）等，其速而
度的不确定度均为原速度的10%，判断在确定这些质点位idd?cosm??i??sinm??m??imsinm??ccosm?置时，不确定度关系是否有实际意义？
dcosm?i所以不是算符d?的本征函数。
解：按测不准关系，诸粒子的坐标的不确定度分别为：
子
弹
：
?x?h?6.26?10?34J?s0.01kg?1000?10%m?s?1?6.63?10?34【1.14】证明在一维势箱中运动的粒子的各个波函数互相m??vm
正交。
尘
埃
：证：在长度为l的一维势箱中运动的粒子的波函数?x?h?6.626?10?34J?s10?9kg?10?10%m?s?1?6.63?10?25m??vm为：
2n?花
粉
：
?n?x??lsinxl34 0?x?1
n=1，2，3，……
?x?h??v?6.626?10?J?s10?13kg?1?10%m?s?1?6.63?10?20mm
令n和n’表示不同的量子数，积分： ll2n?x2n?电
子
：
??n?x??n?x?d??h?340?0lsinllsinxldx?x?m??v?6.626?10J?s9.109?10?31kg?1000?10%m?s?1?7.27?10?6m?2ln?xn?x l?sinsindx【1.9】用不确定度关系说明光学光栅（周期约10?6m0ll）
??n?n??l观察不到电子衍射（用100000V电压加速电子）。 ?sinxsin?n?n??x???2ll解：解法一：根据不确定度关系，电子位置的不确定l????2??n?n???2??n?n???度为：
?ll??0hlx??h?1.226?10?91?pm?sin?n?n??x?n?n??x??xh/?V??lsinl??1.226?10?91??10000m??n?n????n?n?????0?1.226?10?11m ?sin?n?n???n?n??这不确定度约为光学光栅周期的10－5
倍，即在此加速?n?n???sin?n?n??
电压条件下电子波的波长约为光学光栅周期的10－5
倍，用n和n皆为正整数，因而?n?n?和?n?n?皆为正整数，
光学光栅观察不到电子衍射。
所以积分： l解法二：若电子位置的不确定度为10－6
m，则由不确定关??n?x??n?x?d??00系决定的动量不确定度为：
根据定义，
?n?x?和
?n?x?互相正交。
【1.15】已知在一维势箱中粒子的归一化波函数为
?n?x??2n
lsin?xl n?1,2,3???
式中l是势箱的长度，x是粒子的坐标
?0?x?l?，求粒
子的能量，以及坐标、动量的平均值。
解：（1）将能量算符直接作用于波函数，所得常数即为粒子的能量： 2H?ψn(x)?-hd28π2mdx2(2lsinnπxl)?-h2d2nπnπx8π2mdx(llcosl) ??h22n?n?n?x8?2ml?l?(?lsinl) ?h2n2?22n?xn2h2?8?2m?l2?lsinl?8ml2?n(x) ?n2h2E即：
8ml2 （2）由于
?x?n(x)?c?n(x),x?无本征值，只能求粒子坐
标的平均值：
x??ll??2n?x?*?l?2n?x??0?*n?x??x?n?x?dx??0?sinxdx?ll????0?sin??ll???
??21?cosx?l?l0xsin2??n?x?2l?2n?l??l??dx?l?0x???dx?2??
1?x2?ll?2n?x?llll?2n?x??20?2n???xsinl??0?2n??0sinldx?? ?l2
（3）由于?px?n?x??c?n?x?,p?x无本征值。按下式计算
px的平均值:
p1*x??0?n?x??px?n?x?dx
??12n?x?ihd?2n0lsinl???2?dx??lsin?xldx
??nihln?xn?xl2?0sinlcosldx?0
【1.19】若在下一离子中运动的?电子可用一维势箱近
似表示其运动特征： 估计这一势箱的长度
E22n?nh/8ml2估算
?l?1.3nm，根据能级公式
电子跃迁时所吸收的光的波
长，并与实验值510.0
nm比较。
HHHHH3CCCCCCHNCCCN3CH3H?HHCH3
解：该离子共有10个
电子，当离子处于基态时，
这些电子填充在能级最低的前子受到光的照射，
?5个
?型分子轨道上。离
电子将从低能级跃迁到高能级，跃
迁所需要的最低能量即第5和第6两个分子轨道的的能级差。此能级差对应于棘手光谱的最大波长。应用一维势箱粒子的能级表达式即可求出该波长：
?E?hc62h252h211h2??E6?E5?8ml2?8ml2?8ml2
?8mcl2?11h9?8?9.1095?10?31kg?2.9979?108ms?1??1.3?10?m?211?6.6262?10?34Js?506.6nm
实验值为510.0nm，计算值与实验值的相对误差为-0.67%。
【1.20】已知封闭的圆环中粒子的能级为：
Eh2n?n28?2mR2 n?0,?1,?2,?3,???
式中n为量子数，R是圆环的半径，若将此能级公式近似
地用于苯分子中
?66离域
?键，取R=140pm，试求其
电子从基态跃迁到第一激发态所吸收的光的波长。
解：由量子数?n可知，n=0为非简并态，|n|≥1都为
二重简并态，6个
电子填入n=0，1，
?1等3个轨
道，如图1.20所示： 4(b)轨道角动量|M|=?轨道磁矩|μ|=?
D(r)/a010.200.150.100.050.000(c)轨道角动量M和z轴的夹角是多少度？
?E??????10(d)列出计算电子离核平均距离的公式（不算出具体的
数值）。
(e)节面的个数、位置和形状怎么样？ (f)概率密度极大值的位置在何处？ (g)画出径向分布示意图。
246810012图1.20苯分子
?266能级和电子排布
r/a
?E?E2?E1??4?1?h8?2mR2?hc图2.9 H原子
由图可见,氢原子
?2pz的D-r图
? ?2p8?2mR2c??3h?8???9.11?102?31z的径向分布图有n-l＝1个极大(峰)
和n-l-1＝0个极小(节面)，这符合一般径向分布图峰数和节面数的规律。其极大值在r＝4a0处。这与最大几率密度对应的r值不同，因为二者的物理意义不同。另外，由于径向分布函数只与n和l有关而与m无关，2px、2py和2pz的径向分布图相同。 【2.10】对氢原子，
kg???1.40?10?103??6.626?10m???2.998?10ms28?1?34Js??解：（a）原子的轨道能：
E??2.18?10?18J?
（b）轨道角动量：
?212?10?9m?212nm实验表明，苯的紫外光谱中出现β，?和?共3个吸收带，它们的吸收位置分别为184.0nm，208.0nm和263.0nm，前两者为强吸收，后面一个是弱吸收。由于最低反键轨道能级分裂为三种激发态，这3个吸收带皆源于
1??5.45?10?19J22
hhM?l(l?1)?22?2? 轨道磁矩：
??c1?210?c2?211?c3?311，所有波
??l?l?1??e函数都已归一化。请对?所描述的状态计算：
(a)能量平均值及能量?3.4eV出现的概率； (b)角动量平均值及角动量2h/2?出现的概率； (c)角动量在z轴上的分量的平均值及角动量z轴分量
?电子在最高成键轨道和最低反键之间的跃迁。计算结
（c）轨道角动量和z轴的夹角：
果和实验测定值符合较好。 【1.21】函数??x??22/asin(?x/a)?32/asin(2?x/a)hMz2??0cos???hM2?2?， ??90
0?（d）电子离核的平均距离的表达式为：
*?r???2pzr?2pzd?h/?出现的概率。
解：根据量子力学基本假设Ⅳ-态叠加原理，对氢原子
是否
是一维势箱中粒子的一种可能状态？若是，其能量有无确定值？若有，其值为多少？若无，求其平均值。
解：该函数是长度为a的一维势箱中粒子的一种可能状态。因为函数
?所描述的状态：
(a)能量平均值
22E??ci2Ei?c12E1?c2E2?c3E3i???0??0z?2?022?2pr?rsin?drd?d?z?1?x??2/asin(?x/a)（e）令
?2p?0，得：
0
和
?2?x??2/asin(2?x/a)r=0，r=∞，θ=90
节面或节点通常不包括r=0和r=∞，故
都是一维势箱中粒子的可
?2pz的节面只有
能状态（本征态），根据量子力学基本假设Ⅳ（态叠加原理），它们的线性组合也是该体系的一种可能状态。 因为
111??2??2???c??13.6?2eV??c2??13.6?2eV??c3??13.6?2eV?223??????
21一个，即xy平面（当然，坐标原点也包含在xy平面内）。亦可直接令函数的角度部分Y?θ=900。
（f）几率密度为：
H??x??H??2?1?x??3?2?x???????3/4?cos??0，求得
13.6222??c3eV?c1?c2?eV?13.64922???3.4c12?3.4c2?1.5c3?eV
?2H?1?x??3H?2?x?2
2
?2?h4h?1?x??3??2?x?8ma28ma2
2???2p?z? 常数???x?
?
1?r??ar2?ecos?3?32?a0?a0?02能量?3.4eV出现的概率为
2c12?c22?c12?c222c?c?c23
21所以，
??x?由式可见，若r相同，则当θ=00或θ=1800时ρ最大（亦
不是H的本征函数，即其能量无确定值，可
按下述步骤计算其平均值。 将
????sin??0?00
可令??，θ=0或θ=180），以0表示，
即：
2(b)角动量平均值为
22M??ci2M?c12M1?c2M2?c3M3i??x?归一化：设
??x?c??x?=
a2，即：
a?c021l1?l1?1? 0???x?a2dx??c??x?dx??c2?2?x?dx002
a?2?x22?x???c2?sin?3sin?2?dxaaa?0?a? 12c??13c2?1 13 ??x?将
?r??ar?0??(r,??0,180)??e3?32?a0?a0? ?01对r微分并使之为0，有：
hhh22?c2l2?l2?1??c3l3?l3?1?2?2?2?
所代表的状态的能量平均值为：
aE????x?H??x?dx0a?2rd?0d?1?r??a0????e??3drdr?32?a0??a0???
r???1r?rea0?2???0532?a0a0??hhh22?c1?1?1??c21?1?1??c31?1?1?2?2?2?
2h2??c1?c22?c32?2?
2h角动量2?出现的概率为
21
23c12?c2?c3?1
解之得：r=2a0（r=0和r=∞舍去） 又因：
?2?x22?x??h2d2????2csin?3csin???2m2??aaaa?0???8?dx?
(c)角动量在z轴上的分量的平均值为
d2?0|r?2a0?02 dr
所以，当θ=00或θ=1800，r=2a0时，
2?2pzMz??ci2Mzi?c12m1ihhh21?c2m2?c3m32?2?2?
?2?x22?x???2casina?3casina??dx大值为： ?? 2?22aa22aach15c2h2?x2?x9c2h22??x1?2a0?e?a?e2?x2??m??sindx?sinsindx?sindx3?3??8?a0ma3a2ma3aama2a32?a0?a0? 000 222?35ch5h ?36.4nm ??ma213ma2
（g）
??x??2?x?2也可先将1和归一化，求出相应的能量，再5?r?r2?14?a02a0?222?1?1?E??ci2Ei??x?D2pz?rR?rre?re利用式求出所代表的状态的能量??5?26?a0??24a0???? 平均值：
22222h2h40ch根据此式列出D-r数据表： E?4c2??9c2??8ma28ma28ma2r/a0 0 1.0 2.0 5h240h21???228ma1313ma
00有极大值。此极
2???c?0?c?1?c3???1???2122h22??c2?c3?2h2??
角动量z轴分量h/π出现的概率为0。
【2.13】写出He原子的Schr?dinger方程,说明用中心力场模型解此方程时要作那些假设,计算其激发态(2s)(2p)的轨道角动量和轨道磁矩.
解：He原子的Schrodinger方程为：
1
1
3.0
?h22e2?11?1e2?22??2??1??2?????E?????4??0?r1r2?4??0r12??8?m
式中
r14.0 r2和5.0 6.0 r分别是电子1和电子2到核的距离，12是电
【2.9】已知氢原子的
D/
?1a0
0 7.0
0.015 8.0 0.057
0.090 9.0 0.034
0.169 0.195 0.175 0.134 子1和电子2之间的距离，若以原子单位表示，则He原子的Schrodinger方程为： 10.0 11.0 12.0
?2p?z?r??r???exp???42?a?a0??a0?cos?，试回答下列
130r/a0 D/
?1a0
0.091
?12221?2E?????1??2??-2?????-3
2rr2r120.019 1.02×10 5.3?1?×10
用中心力场解此方程时作了如下假设：
问题：
(a)原子轨道能E=?
按表中数据作出D-r图如下：
(1)将电子2对电子1（1和2互换亦然）的排斥作用
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