高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念(第2课时)课堂探究 新人教

高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念（第2课时）课堂探究 新人教A版选

修1-2

高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念（第2课时）课堂探究 新人教A版选修1-2

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高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念（第2课时）课堂探究 新人教A版选

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高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概

念（第2课时)课堂探究 新人教A版选修1-2

探究一 复数的几何意义

复数集与复平面内所有的点所成的集合之间存在着一一对应关系，每一个复数都对应着复平面内的一个点，复数的实部对应着该点的横坐标，而虚部则对应该点的纵坐标，这样在复平面内就可根据点的位置确定复数实部、虚部应满足的条件．

【典型例题1】当实数m分别为何值时,复数（m－8m＋15）＋(m＋3m－28）i在复平面内对应的点:

（1)位于第四象限？ (2）位于x轴的负半轴上? (3)位于y轴的正半轴上？

思路分析：复数a＋bi（a，b∈R)在复平面内对应的点位于第四象限应满足a＞0且b＜0；位于x轴的负半轴上应满足a＜0且b＝0;位于y轴的正半轴上，应满足a＝0且b＞0.

解：（1)当复数（m－8m＋15）＋(m＋3m－28)i在复平面内对应的点位于第四象限时， 有错误!解得错误! ∴－7＜m＜3。

故当－7＜m＜3时,该复数在复平面内对应的点位于第四象限．

(2)当复数（m－8m＋15）＋（m＋3m－28）i在复平面内对应的点位于x轴的负半轴上时，有错误!

解得错误!∴m＝4。

故当m＝4时，该复数在复平面内对应的点位于x轴的负半轴上．

（3）当复数（m－8m＋15）＋(m＋3m－28)i在复平面内对应的点位于y轴的正半轴上时,有错误!解得错误!∴m＝5.

故当m＝5时，该复数在复平面内对应的点位于y轴的正半轴上．

温馨提示 判断复数z在复平面内对应的点的位置时,首先要明确复数z的实部和虚部． 探究二 复数的模

计算复数的模，要先找出复数的实部和虚部，然后利用复数模的计算公式求解．复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模就是向量错误!＝（a，b)的模,所以|z|＝|错误!|＝错误!.

【典型例题2】求复数z1＝3＋4i及z2＝－错误!－错误!i的模,并比较它们的模的大小．

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思路分析：先确定复数的实、虚部，再代入公式即可．

解:|z1|＝错误!＝5，｜z2|＝错误!＝错误!。 ∵5＞错误!，即|z1|＞|z2｜。

温馨提示 复数一般不能比较大小，但复数的模可以比较大小． 探究三 复数几何意义的应用

（1）复数的两种几何意义：一是复数与复平面内的点一一对应；二是复数与平面向量一一对应．

(2）复数与复平面内向量的对应:复数的实部、虚部是对应向量的坐标，利用这一点，可把复数问题转化为向量问题．

【典型例题3】在复平面上，复数i,1,4＋2i对应的点分别是A，B，C。求平行四边形ABCD的顶点D所对应的复数．

思路分析：方法一：复数→点的坐标→中点坐标公式→点D的坐标→点D对应的复数． 方法二：复数→向量→向量运算→错误!→点D对应的复数

解法一：由已知,得点A，B,C的坐标分别为A（0,1），B（1，0)，C(4，2),则AC的中点为

E错误!.

由平行四边形的性质,知E也是BD的中点． 设点D的坐标为(x，y),

则错误!解得错误!即点D的坐标为(3,3)． 故D点对应的复数为3＋3i。

解法二：由已知，得错误!＝（0，1),错误!＝(1,0）,错误!＝（4，2)，∴错误!＝(－1，1)，

错误!＝(3,2）．

∴错误!＝错误!＋错误!＝(2，3)．∴错误!＝错误!＋错误!＝（3，3）． ∴点D对应的复数为3＋3i. 探究四 易错辨析

易错点 混淆绝对值与模的概念致错

【典型例题4】已知复数z满足｜z|－2|z｜－3＝0,则复数z对应的点Z的轨迹是（ ) A．2个点 B．1个圆 C．2个圆 D．1条线段 错解：A

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