二次函数专题复习一

二次函数专题复习（一）

教学目标：

1、 通过复习，掌握各类形式的二次函数解析式的求解方法和思路，能够一题多解，发散学生的思维，提

高学生的创造思维能力；

2、 能运用二次函数的相关知识解决实际生活中的问题，培养学生运用数学知识解决实际生活问题的能力； 3、 能运用数学思想解决有关二次函数的综合问题，帮助学生提高解决综合题的能力。 教学重难点：

1、 各类形式的二次函数解析式的求解方法和思路； 2、 运用二次函数的相关知识解决实际生活中的问题; 3、 运用数学思想解决有关二次函数的综合问题.

一、二次函数解析式

1.二次函数解析式常用的有三种形式： （1）一般式：y?ax2?bx?c(a?0) （2）顶点式：y?a(x?h)2?k(a?0) （3）交点式：y?a(x?x1)(x?x2)(a?0)

求函数解析式用待定系数法，应注意根据不同的条件选择合适的解析式形式，（1）当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y?ax?bx?c(a?0)形式。（2）当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y?a(x?h)?k(a?0)形式。（3）当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为两根式y?a(x?x1)(x?x2)(a?0)。

22例1 已知二次函数的图像过（1，0），（-1，-4）和（0，-3）三点，求这个二次函数解析式。

分析：此题是典型的根据三点坐标求其解析式，关键是：（1）熟悉待定系数法；（2）点在函数图像上时，点的坐标满足此函数的解析式；（3）会解简单的三元一次方程组。

例2 已知二次函数的图像经过原点，且当x?1时，y有最小值-1，求这个二次函数的解析式。

分析：此题利用顶点式求解较易，用一般式也可以求出，但仍要利用顶点坐标公式。

例3 已知二次函数的图像与x轴交点的横坐标分别是x1??3,x2?1，且与y轴交点为（0，-3），求这个二次函数解析式。

分析：已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可选用二次函数的交点式： y?a(x?x1)(x?x2)，其中

x1,x2为两交点的横坐标。

例4已知抛物线顶点（1,16），且抛物线与x轴的两交点间的距离为8，求这个抛物线解析式。

例5（2010上海）如图，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y＝－x＋bx＋c过点A(4,0)、B(1,3) . （1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；

（2）记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线l

的对称点为E，点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值.

(1) y??x2?4x??(x?2)2?4 (2) m?5,n??5.

二、二次函数的图像和性质

1.二次函数y?ax?bx?c(a?0)的图像和性质 （1）顶点坐标与对称轴 （2）开口方向

（3）增减性与最值

当a?0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随

b2a22

着x的增大而增大；当x??时，函数y有最小值

4ac?b4a2。当a?0时，在对称

轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小。当

x??b2a时，函数y有最大值

4ac?b4a2。

例6（2010广东）已知二次函数y??x2?bx?c的图像如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（-1,0），与y轴的交点坐标为（0,3）. （1）求出b,c的值，并写出此二次函数的解析式；

（2）根据图像，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围.

2. 二次函数y?a(x?h)2?k(a?0)的图像和性质 （1）顶点坐标与对称轴 （2）开口方向 （3）增减性与最值

例题7 （2010杭州）定义[a,b,c]为函数y?ax2?bx?c的特征数, 下面给出特征数为 [2m，1 – m , –1– m]

的函数的一些结论：

① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是(

1383，)；

3 ② 当m > 0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；

2 ③ 当m < 0时，函数在x >

14时，y随x的增大而减小；

④ 当m ? 0时，函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有（B）

A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④ 三、二次函数中与图像有关的一些问题

例题8（2010天津）已知二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象如图所示，有下列结论：

①b2?4ac?0； ②abc?0； ③8a?c?0； ④9a?3b?c?0．

其中，正确结论的个数是（D ）

（A）1 （C）3

（B）2 （D）4

x?1y ?2 ?1 O x 练习题 （2010福州）已知二次函数y?ax2?bx?c的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A. a?0 B. c?0 C. b2?4ac?0 D. a?b?c?0 四、二次函数的应用

1. 二次函数解决实际最值问题 法是：

利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方 （1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围。

（2）在自变量取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值。 2.二次函数解决实际利润问题 3.二次函数解决综合问题

例题9（2010武汉）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，

房间会全部住满。当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲。宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元。设每个房间的房价每天增加x元(x为10的正整数倍)。

(1) 设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； (2) 设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；

(3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？ 解：(1) y=50?

110110x (0?x?160，且x是10的整数倍)。 x)(180?x?20)= ?

110 (2) W=(50? (3) W= ?0?x?160，

x2?34x?8000；

(x?170)2?10890，当x<170时，W随x增大而增大，但

110x2?34x?8000= ?

110 ∴当x=160时，W最大=10880，当x=160时，y=50?时， 宾馆每天利润最大，最大利润是10880元。

110x=34。答：一天订住34个房间

例10（2010南昌）如图，已知经过原点的抛物线y=－2x+4x与x轴的另一交点为A，现将它向右平移m（m>0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P．

（1）求点A的坐标，并判断△PCA存在时它的形状（不要求说理）； （2）在x轴上是否存在两条相等的线段？若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可

用含m的式子表示）；若不存在，请说明理由； （3）设△PCD的面积为S，求S关于m的关系

y式. 解：（1）令?2x2?4x?0，得x1?0,x2?2. ∴点A的坐标为（2，0）. ?PCA是等腰三角形. （2）存在.

O C P 2

A D x OC?AD?m,OA?CD?2.

(3)当0＜m＜2时，如图，作PH?x轴于H，设P(xp,yp).

∵A(2,0), C(m,0), ∴AC?2?m.∴CH?∴xp?OH?m?yp??12m2

AC2?2?m2.

2?m2?m?22.把xp?12m?22代入y??2x2?4x，得

12?2?(?12m?2)??2?2.∵CD?OA?2,∴S?CD?HP?12m?2.

2 当m?2时，?PCD不存在;

当m?2时，，作PH?x轴于H，设P(xp,yp).

∵A（2，0），C（m，0），∴AC?m?2，∴AH? ∴xp?OH?2?yp??12m2m?22.

2m?22?m?22. 把xp?12m?22代入y??2x?4x， 得

12?2?(?yp)?12m?2.

2?2.∵CD?OA?2，∴S?CD?HP?