湖北省四地七校考试联盟”2018届高三3月联考数学(理)试题

湖北省四地七校考试联盟”2018届高三3月联考

数学（理）试题

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合A.

B.

， C.

，则（ ） D.

【答案】D 【解析】

故选D.

2. 在复平面内，复数

（其中是虚数单位）对应的点位于（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】3. 设

，则“

”是“

故复数

（对应的点位于第四象限.

”的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 由 则 可得 “4. 已知A.

， B.

”是“

， C.

，所以， ，

”的充分不必要条件，故选A．

， D.

，则（ ） ，

【答案】D

- 1 -

【解析】 因为，所以

， ，

，

根据幂函数的性质，可得 根据指数函数的性质，可得 所以

，故选D.

5. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为 （参考数据：

，

）

A. 12 B. 20 C. 24 D. 48 【答案】C

【解析】模拟执行程序，可得：不满足条件不满足条件满足条件故选C．

【点睛】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，解题时注意判断框的条件的应用． 6. 已知实数

满足约束条件

，若

的最大值为4，则

（ ）

，退出循环，输出的值为24．

- 2 -

A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】C

【解析】由约束条件作出可行域如图，

联立直线把把故选C. 7. 已知数列

，设

，

，解得，由图得化目标函数为 当

过或时，直线在轴上的截距最小，有最大值． 代入代入得

．

，得

，符合题意；

，都是公差为1的等差数列，其首项分别为，则数列

的前10项和等于（ ）

，且，

A. 55 B. 70 C. 85 D. 100 【答案】C 【解析】

当同理，当8. 若圆直，则线段

与圆的长度是（ ）

D. 8

时，

时，

； ,选C.

相交于

两点，且两圆在点处的切线互相垂

A. 3 B. 4 C. 【答案】B 【解析】由题可得

与

根据圆心距大于半径之差而小于半径之和，

再根据题意可得

- 3 -

∴利用故选B． 9. 若函数A.

B.

解得

的图像与函数 C.

D.

的图像关于直线对称，则（ ）

【答案】C 【解析】∵函数∴函数又∵函数单位可得故选C． 10. 已知函数

数的取值范围为（ ） A.

B.

C.

D.

，若方程

在

上有且只有四个实数根，则实

，与函数

的反函数为：

的图象与函数

互为反函数，

即

，函数的图象向左平移两个

的图象关于直线

对称，

【答案】B

【解析】 作

出令

的函数图象如图所示：

得或

在

上从左到右的第4个交点为，第5个交点为，、则

或

设直线与

∵方程

.

在（上有且只有四个实数根， 即解得

- 4 -

故选B．

11. 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚4.已知各观测点到该中心的距离是1020.则该巨响发生在接报中心的（ ）处.（假定当时声音传播的速度为340均在同一平面上） A. 西偏北C. 西偏北【答案】A

方向，距离方向，距离

B. 东偏南 D. 东偏南

方向，距离方向，距离

，相关各点

【解析】如图，以接报中心为原点，正东、正北方向为轴、轴正

向，建立直角坐标系．设分别是西、东、北观测点，则

设为巨响为生点，由的方程为

同时听到巨响声，得，故在的垂直平分线上，

，因点比点晚听到爆炸声，故，为焦点的双曲线

上，依题意得

由双曲线定义

知点在以

故双曲线方程为

代入上式，得故

.

距中心

处．

，即

，将

故巨响发生在接报中心的西偏北故选A

【点睛】本题考查双曲线的性质和应用，解题时由题设条件作出图形，利用数形结合思想是解题的关键.． 12. 对

，设是关于的方程

的实数根，（ ）

，

（符号

表示不超过的最大整数）.则

- 5 -

A. 1010 B. 1012 C. 2018 D. 2020 【答案】A 【解析】设记

，则

当 是增函数，方程 即

只有一个实根

故选A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知函数

，则

__________．

【答案】 【解析】由题即答案为. 14. 设【答案】

，则

__________．

即答案为.

【点睛】本题考查学生对二项式定理的灵活应用，主要检测学生的应变能力和对定理掌握的熟练程度. 15. 已知平面向量

__________．

的夹角为

，且

，

.若平面向量满足

，则

- 6 -

【答案】

【解析】如图，设 则

设 由，得 ，解得

即答案为

【点睛】本题考查平面向量的数量积运算即数量积的坐标运算其中建立平面直角坐标系是解题的关键.

16. 某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则此长方体体积的最大值为__________．

【答案】

【解析】根据三视图可判断该工件为圆锥，

- 7 -

∵底面半径为1，高为2，

∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，∴此长方体底面边长为n的正方形，高为x，∴根据轴截面图得出

解得

∴长方体的体积∴可知

在

上单调递增，

上单调递减，

的最大值

即答案为.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答. 17. 如图，已知

是

中

的角平分线，交

边于点.

（1）用正弦定理证明：（2）若

，

，

；

，求

的长.

【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】试题分析：（1）根据

是的角

平分线,利用正弦定理、三角形内角和定理及诱

的值，再利用角平分线和余弦定理，

导公式，即可证明结论成立；(2)根据余弦定理，先求出即可求出

的长.

试题解析：（1）∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD 根据正弦定理，在△ABD中，在△ADC中，

=

=

∵sin∠ADB=sin（π﹣∠ADC）=sin∠ADC ∴∴

=

=

，

=

- 8 -

（2）根据余弦定理，cos∠BAC=即cos120°=解得BC=又∴

=

=，

，BD=

；

解得CD=

设AD=x，则在△ABD与△ADC中， 根据余弦定理得， cos60°=

且cos60°=

解得x=，即AD的长为． 18. 如图，在几何体

，

中，平面，为

平面中点.

，四边形

为菱形，且

，

（1）求证：（2）求二面角

平面；

的平面角的正弦值.

.

中点，连结

，推导出四边形平面

为

.，从而

为平行四边形．从平面

.

，

【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】试题分析：（Ⅰ）取而（Ⅱ）取

.进而

平面

，由此能证明平面

.以为原点，

中点，连结轴建立空间直角坐标系

利用向量法能求出二面角试题解析：

的平面角的正弦值.．

- 9 -

（1）证明：取又

平面

中点，连结，且

平面

，因为，所以

分别为平面

，因为

中点，所以

，

. ，所以

，

.所以四边形

所以所以又

.又平面平面

平面，又，所以

为平行四边形. 且

平面

，

平面

.

，所以平面平面

. .因为

平面

（2）解：取因为平面因为因为为

，

中点，连结平面

，所以，所以

，所以，

.

.

为等边三角形.

两两垂直，设

，

.

，

中点，所以

为，，

.因为

以为原点，由题意得，

轴，如图建立空间直角坐标系，，

令

令

，则

，

所以

，则

，

，

，

，

设平面则设平面则∴

的法向量为，即的法向量为，即

∴二面角

所以.

.

平面角的正弦值为

19. 我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程.某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如下图表：

- 10 -

（1）若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？

（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；

（3）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：

①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元； ②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元； ③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元.

利用样本估计总体，试估计政府执行此计划的年度预算.（单位：亿元，结果保留两位小数） 【答案】(1)80岁及以上应抽取：人，80岁以下应抽取：人；(2)

；(3)2.22亿元.

........................ 试题解析：

(1)数据整理如下表：

- 11 -

从图表中知不能自理的岁及以上长者比为：故抽取人中不能自理的岁及以上长者人数为岁以下长者人数为人 (2)在

人中岁及以上长者在老人中占比为：

万， ％=

用样本估计总体，岁及以上长者共有岁及以上长者占户籍人口的百分比为

％，

(3)用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为元，

则随机变量的分布列为：

全市老人的总预算为

政府执行此计划的年度预算约为

亿元.

元，

求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：

第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； 第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式（常见的有古典概型公式、几何概率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；

第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；

第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些

- 12 -

实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(分布的期望公式，可加快解题速度. 20. 如图，一张坐标纸上一已作出圆

某点重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线

及点

，则此随

)求得.因此，应熟记常见的典型

，折叠此纸片，使与圆周上

的交点为，令点的轨迹为.

（1）求轨迹的方程； （2）若直线

，求

【答案】(1)

与轨迹交于两个不同的点的面积的取值范围. ；(2)

.

的垂直平分线，则

，推导出的轨迹是以

为

，且直线与以

为直径的圆相切，若

【解析】试题分析：（1）折痕为焦点的椭圆，且且（2）与以

，

，由此能求出的轨迹的方程．

相切，，从而

，由

，得

为直径的圆

，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积、弦长公式、

三角形面积公式，能求出试题解析： （1）折痕为∴

∴的轨迹是以∴（2）与以

为焦点的椭圆，且，∴的轨迹的方程为为直径的圆

，

的垂直平分线，则

，

，

， .

的距离：

，由题意知圆的半径为

，

的面积的取值范围．

相切，则到即直线

，即

- 13 -

由，消去，得，

∵直线与椭圆交于两个不同点， ∴设

，

，则

，，

，

，

，

又 ，∴，∴，

设∵

，则关于在

，∴单调递增，∴

，∴.

，，

.

的面积的取值范围是

21. 已知为正的常数，函数（1）若（2）设

，求函数

，求

的单调递增区间； 在区间

上的最小值.（为自然对数的底数）

【答案】(1)，；(2).

【解析】试题分析：（1）把代入函数解析式，由绝对值内的代数式等于0求得的值，由

解得的的值把定义域分段，去绝对值后求导，利用导函数求每一段内的函数的增区间，则时的函数的增区间可求； （2）把

的解析式代入

，利用与1和的大小比较去绝对值，然后求出去绝对值

上的最小值．最后把求得的函数

后的函数的导函数，利用函数的单调性求出函数在区间的最小值写成分段函数的形式即可．． 试题解析：（1）

时，

，

- 14 -

，可得单调增区间是，

（2） ，

当当当

时，则时，时，

在

，单调递增，上减，

上增，

，得

；

；

综上所述：

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数在闭区间上的最值，分类讨论得数学思想方法以及去绝对值的方法，正确的分类是解决该题的关键．

（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 在直角坐标系

中，曲线的参数方程为

（为参数），以原点为极点，

.

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程； （2）已知曲线的极坐标方程为与的交点，且

均异于原点，且

，点是曲线与的交点，点是曲线，求实数的值. ，的直角坐标方程为

；(2)

.

【答案】(1)曲线的普通方程为【解析】试题分析：

(1)由题意化简可得曲线普通方程和的直角坐标方程为

(2)由弦长公式得到关于角度值的三角方程，解方程可得实数的值为. 试题解析： （1）由

；

消去参数可得普通方程为

，

，

- 15 -

，.

由，得曲线的直角坐标方程为；

，

（2）由（1）得曲线：由题意设则

，

，

.

.

，

，

，其极坐标方程为

，

，

23. 已知函数（1）若不等式（2）当

，函数

.

恒成立，求实数的最大值；

有零点，求实数的取值范围.

【答案】(1)1；(2)【解析】试题分析：

(1)利用题意结合绝对值不等式的性质可得实数的最大值为1； (2)利用函数

的解析式零点分段可得实数的取值范围是

． ，

恒成立当且仅当

，

．

试题解析：（Ⅰ）∵∴∴

，即实数的最大值为1．

（Ⅱ）当时，

∴，

∴或

∴，

- 16 -

∴实数的取值范围是

．

- 17 -