（2）根据余弦定理，cos∠BAC=即cos120°=解得BC=又∴
=
=，
，BD=
；
解得CD=
设AD=x，则在△ABD与△ADC中， 根据余弦定理得， cos60°=
且cos60°=
解得x=，即AD的长为． 18. 如图，在几何体
，
中，平面，为
平面中点.
，四边形
为菱形，且
，
（1）求证：（2）求二面角
平面；
的平面角的正弦值.
.
中点，连结
，推导出四边形平面
为
.，从而
为平行四边形．从平面
.
，
【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】试题分析：（Ⅰ）取而（Ⅱ）取
.进而
平面
，由此能证明平面
.以为原点，
中点，连结轴建立空间直角坐标系
利用向量法能求出二面角试题解析：
的平面角的正弦值.．
- 9 -
（1）证明：取又
平面
中点，连结，且
平面
，因为，所以
分别为平面
，因为
中点，所以
，
. ，所以
，
.所以四边形
所以所以又
.又平面平面
平面，又，所以
为平行四边形. 且
平面
，
平面
.
，所以平面平面
. .因为
平面
（2）解：取因为平面因为因为为
，
中点，连结平面
，所以，所以
，所以，
.
.
为等边三角形.
两两垂直，设
，
.
，
中点，所以
为，，
.因为
以为原点，由题意得，
轴，如图建立空间直角坐标系，，
令
令
，则
，
所以
，则
，
，
，
，
设平面则设平面则∴
的法向量为，即的法向量为，即
∴二面角
所以.
.
平面角的正弦值为
19. 我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程.某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如下图表：
- 10 -
（1）若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？
（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；
（3）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：
①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元； ②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元； ③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元.
利用样本估计总体，试估计政府执行此计划的年度预算.（单位：亿元，结果保留两位小数） 【答案】(1)80岁及以上应抽取：人，80岁以下应抽取：人；(2)
；(3)2.22亿元.
........................ 试题解析：
(1)数据整理如下表：
- 11 -
从图表中知不能自理的岁及以上长者比为：故抽取人中不能自理的岁及以上长者人数为岁以下长者人数为人 (2)在
人中岁及以上长者在老人中占比为：
万， ％=
用样本估计总体，岁及以上长者共有岁及以上长者占户籍人口的百分比为
％，
(3)用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为元，
则随机变量的分布列为：
全市老人的总预算为
政府执行此计划的年度预算约为
亿元.
元，
求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； 第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式（常见的有古典概型公式、几何概率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；
第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些
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