解:∵菱形ABCD中,边长为10,∠A=60°,顺次连结菱形ABCD各边中点, ∴△AA1D1 是等边三角形,四边形A2B2C2D2 是菱形,
1
∴A1D1 =5,C1D1=AC=53 ,A2B2=C2D2=C2B2=A2D2 =5,
2111
同理可得出:A3D3=5× ,C3D3=C1D1=×53 ,
222
12112
A5D5=5×() ,C5D5=C3D3=()×53 ,
222
…
5+53
∴四边形A2015B2015C2015D2015 的周长是: .
10072
例3. 如图,在矩形ABCD中,点E为AB的中点,EF⊥EC交AD于点F,连接CF(AD>AE),
BC3
下列结论:①∠AEF=∠BCE;②S△CEF=S△EAF+S△CBE ;③AF+BC>CF; ④若= ,
CD2
则△CEF≌△CDF.其中正确的结论是____________.(填写所有正确结论的序号)
解:延长CB,FE交于点G,
∵∠AEF+∠BEC=90°,∠BEC+∠BCE=90°, ∴∠AEF=∠BCE,①正确; 在△AEF和△BEG中, ??∠FAE=∠GBE=90°
, ?AE=BE??∠AEF=∠BEG∴△AEF≌△BEG(ASA), ∴AF=BG,EF=EG, ∵CE⊥EG,
∴S△CEG=S△CEF ,CG=CF,
∴S△CEF=S△EAF+S△CBE ,②正确; ∴AF+BC=BG+BC=CG=CF,③错误;
- 12 -
BC3
,
CD2
∴∠BCE=30°,∴∠FCE=∠FCD=30°, 在△CEF和△CDF中, ??∠D=∠FEC=90°
, ?∠DCF=∠ECF?CF=CF?
∴△CEF≌△CDF(AAS),④正确.
∵=
同类题型3.1 如图,在矩形ABCD中,AD= 2 AB,∠BAD的平分线交BC于点E,DH⊥AE于点H,连接BH并延长交CD于点F,连接DE交BF于点O,下列结论:①AED=∠CED;②AB=HF,③BH=HF;④BC-CF=2HE;⑤OE=OD; 其中正确结论的序号是____________.
解:∵在矩形ABCD中,AE平分∠BAD, ∴∠BAE=∠DAE=45°, ∴△ABE是等腰直角三角形, ∴AE=2 AB, ∵AD=2 AB, ∴AE=AD,
?ABE和△AHD中,?∠BAE=∠DAE
在△?∠ABE=∠AHD=90°,
??AE=AD
∴△ABE≌△AHD(AAS), ∴BE=DH,
∴AB=BE=AH=HD,
∴∠ADE=∠AED=1
2
(180°-45°)=67.5°,
∴∠CED=180°-45°-67.5°=67.5°, ∴∠AED=∠CED,故①正确;
∵∠AHB=1
2
(180°-45°)=67.5°,∠OHE=∠AHB(对顶角相等),
∴∠OHE=∠AED, ∴OE=OH,
∵∠DOH=90°-67.5°=22.5°,∠ODH=67.5°-45°=22.5°, ∴∠DOH=∠ODH, ∴OH=OD,
∴OE=OD=OH,故⑤正确;
∵∠EBH=90°-67.5°=22.5°, ∴∠EBH=∠OHD,
又∵BE=DH,∠AEB=∠HDF=45°
??∠EBH=∠OHD
在△BEH和△HDF中?BE=DH
??
∠AEB=∠HDF
- 13 -
∴△BEH≌△HDF(ASA),
∴BH=HF,HE=DF,故③正确;
由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE,CF=CD-DF, ∴BC-CF=(CD+HE)-(CD-HE)=2HE,所以④正确; ∵AB=AH,∠BAE=45°, ∴△ABH不是等边三角形, ∴AB≠BH,
∴即AB≠HF,故②错误;
综上所述,结论正确的是①③④⑤.
同类题型3.2 如图,在矩形ABCD中,BC= 2 AB,∠ADC的平分线交边BC于点E,AH⊥DE于点H,连接CH并延长交AB边于点F,连接AE交CF于点O,给出下列命题:
1
①AD=DE②DH=2 2 EH③△AEH∽△CFB④HO=AE
2
其中正确命题的序号是________________(填上所有正确命题的序号)
解:在矩形ABCD中,AD=BC=2AB=2 CD, ∵DE平分∠ADC,
∴∠ADE=∠CDE=45°, ∵AD⊥DE,
∴△ADH是等腰直角三角形, ∴AD=2 AB, ∴AH=AB=CD,
∵△DEC是等腰直角三角形, ∴DE=2 CD, ∴AD=DE,
∴∠AED=67.5°,
∴∠AEB=180°-45°-67.5°=67.5°, ∴∠AED=∠AEB, ∵AD∥BC,
∴∠DAE=∠AEB, ∴∠DAE=∠AED, ∴AD=DE, 故①正确; 设DH=1,
则AH=DH=1,AD=DE=2 , ∴HE=2 ,
∴22HE=22≠1, 故②错误;
∵∠AEH=67.5°, ∴∠EAH=22.5°,
∵DH=CD,∠EDC=45°, ∴∠DHC=67.5°,
- 14 -
∴∠OHA=22.5°, ∴∠OAH=∠OHA, ∴OA=OH,
∴∠AEH=∠OHE=67.5°, ∴OH=OE,
1
∴OH= AE,
2故④正确;
∵AH=DH,CD=CE, 在△AFH与△CHE中, ??∠AHF=∠HCE=22.5°
?∠FAH=∠HEC=45°,
?AH=CE?
∴△AFH≌△CHE, ∴∠AHF=∠HCE, ∵AO=OH,
∴∠HAO=∠AHO,
∴∠HAO=∠BCF,∵∠B=∠AHE=90°, ∴△AEH∽△CFB,故③正确. 答案为:①③④.
同类题型3.3 如图,在矩形ABCD中,点E是边BC的中点,AE⊥BD,垂足为F,则tan∠BDE的值是( )
2112A. B. C. D.
4433
解:∵四边形ABCD是矩形, ∴AD=BC,AD∥BC, ∵点E是边BC的中点,
11
∴BE=BC= AD,
22
∴△BEF∽△DAF, EFBE1∴== , AFAD2
1
∴EF= AF,
21
∴EF= AE,
3
∵点E是边BC的中点,
∴由矩形的对称性得:AE=DE,
1
∴EF= DE,设EF=x,则DE=3x,
3∴DF=
DE-EF=22 x,
EFx2
∴tan∠BDE=== ;
DF22x4
22
- 15 -
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