02 - 国中升高中数学衔接教材 - 第1回 乘法公式[3页] 

高中數學銜接教材 第1回 乘法公式 1

第1回 乘法公式

重 點

一、乘法對加法的分配律

1.a×（b＋c）＝a×b＋a×c。

2.（a＋b）×（c＋d）＝a（c＋d）＋b（c＋d）＝ac＋ad＋bc＋bd。 二、平方公式

1.和的平方：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2。 2.差的平方：（a－b）2＝a2－2ab＋b2。 3.平方差：（a＋b）（a－b）＝a2－b2。 *三、立方公式

1.立方和：（a＋b）（a2－ab＋b2）＝a3＋b3。 2.立方差：（a－b）（a2＋ab＋b2）＝a3－b3。 3.和的立方：（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3。 4.差的立方：（a－b）3＝a3－3a2b＋3ab2－b3。 *四、其他

1.（x＋a）（x＋b）（x＋c）＝x3＋（a＋b＋c）x2＋（ab＋bc＋ca）x＋abc。 2.（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca。

試題 1

試利用（a＋b）（c＋d）＝ac＋ad＋bc＋bd 展開下列各式： (1)（2x＋1）（3x－5）。 (2)（3x＋2y）（4x－3y）。 解 (1)（2x＋1）（3x－5） (2)（3x＋2y）（4x－3y）

＝2x × 3x－2x × 5＋1 × 3x－1 × 5 ＝3x × 4x－3x × 3y＋2y × 4x－2y × 3y ＝6x2－10x＋3x－5 ＝12x2－9xy＋8xy－6y2 ＝6x2－7x－5 ＝12x2－xy－6y2

試題 2

試利用（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 展開下列各式： (1)（3x＋1）2。 解 (1)（3x＋1）2

＝（3x）2＋2 × 3x × 1＋12 ＝9x2＋6x＋1

(2)（5x＋2y）2。 (2)（5x＋2y）2

＝（5x）2＋2 × 5x × 2y＋（2y）2 ＝25x2＋20xy＋4y2

試題 3

試利用（a－b）2＝a2－2ab＋b2 展開下列各式： (1)（5x－3y）2。 (2)（3a－b）2。 解 (1)（5x－3y）2 (2)（3a－b）2

高中數學銜接教材 第1回 乘法公式 2

＝（5x）2－2 × 5x × 3y＋（3y）2 ＝25x2－30xy＋9y2 ＝（3a）2－2 × 3a × b＋b2 ＝9a2－6ab＋b2

試題 4

試利用（a＋b）（a－b）＝a2－b2 展開下列各式： (1)（2x＋y）（2x－y）。 (2)（2a－b＋3）（2a－b－3）。 解 (1)（2x＋y）（2x－y） (2)（2a－b＋3）（2a－b－3）

＝（2x）2－y2 ＝〔（2a－b）＋3〕〔（2a－b）－3〕 ＝4x2－y2 ＝（2a－b）2－32

＝4a2－4ab＋b2－9

試題 5

*試利用“立方和”與“立方差”的公式展開下列各式： (1)（x＋2y）（x2－2xy＋4y2）。 (2)（x－2）（x2＋2x＋4）。 解 (1)（x＋2y）（x2－2xy＋4y2） (2)（x－2）（x2＋2x＋4）

＝x3＋（2y）3 ＝x3－23 ＝x3＋8y3 ＝x3－8

試題 6

*試利用“和的立方”與“差的立方”展開下列各式： (1)（2x＋y）3。 (2)（3x－2y）3。 解 (1)（2x＋y）3

＝（2x）3＋3 × （2x）2 × y＋ 3 × 2x × y2＋y3

＝8x3＋12x2y＋6xy2＋y3

(2)（3x－2y）3

＝（3x）3－3 × （3x）2 × 2y＋ 3 × 3x × （2y）2－（2y）3 ＝27x3－54x2y＋36xy2－8y3

試題 7

*試展開（x＋2）（x＋3）（x＋4）。 解 （x＋2）（x＋3）（x＋4）

＝x3＋（2＋3＋4）x2＋（2 × 3＋3 × 4＋4 × 2）x＋2 × 3 × 4 ＝x3＋9x2＋26x＋24

試題 8

*試展開（x＋2y－3z）2。 解 （x＋2y－3z）2

＝〔x＋2y＋（－3z）〕2

＝x2＋（2y）2＋（－3z）2＋2 × x × 2y＋2 × 2y × （－3z）＋2 × x × （－3z） ＝x2＋4y2＋9z2＋4xy－12yz－6xz

試題 9

高中數學銜接教材 第1回 乘法公式 3

試利用乘法公式求下列各式的值： (1)3052。

(2)159×161。

*(3)（60－2）（602＋60×2＋22）。 *(4)993。 解 (1) 3052＝（300＋5）2＝3002＋2 × 300 × 5＋52

＝90000＋3000＋25＝93025

(2) 159 × 161＝（160－1） × （160＋1） ＝1602－12＝25600－1＝25599 (3)（60－2）（602＋60 × 2＋22）＝603－23＝216000－8＝215992 (4) 993＝（100－1）3

＝1003－3 × 1002 × 1＋3 × 100 × 12－13 ＝1000000－30000＋300－1 ＝970299

試題 10

*設 a＋b＝5，ab＝3，試求下列各式的值： (1) a2＋b2。 (2) a3＋b3。 解 (1)（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2

? 25＝a2＋b2＋6 ? a2＋b2＝19 (2)（a＋b）（a2－ab＋b2）＝a3＋b3 ? 5 × （19－3）＝a3＋b3

? a3＋b3＝5 × 16＝80 (3)（a－b）2＝a2－2ab＋b2

＝19－2 × 3＝13

(3)（a－b）2。