等比数列及其前N项和

即墨实验高中高三数学理倾导学案

等比数列及其前n项和 编号：33

编写人：于德河 审核人：刘文宝 时间：2014-11-20

【课前预习导读】 一、学习目标

学1.理解等比数列的概念

2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式

3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题4.了解等比数列与指数函数的关系

二 .知识梳理

案1.等比数列及其相关概念 等比数列 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的_________的比都等于___________ 公 比 等比数列定义中的_____叫做等比数列的公比,常用字母q(q≠0)表示 装 公式表示 {an}为等比数列?_________(n∈N*,q为非零常数) 订等比中项 如果a,G,b成等比数列,则G叫做a,b的等比中项, 此时_____ 2.等比数列的通项公式 若等比数列{an}的首项是a1,公比是q,则其通项公式为 _______________.

3.等比数列的前n项和公式 线(1)当公比q=1时,Sn=___.

(2)当公比q≠1时,Sn=____________=__________. 4.等比数列的常见性质 (1)项的性质: ①an?an?mmq

②am?kam?k?a2m(m>k,m,k∈N*).

a.若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则am·an=______=a2k;

b.若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列，则{λ

an},{|an|}, ,{{1a}a2ann },{an·bn}, ({nb}nλ≠0)仍然是等比数列; c.在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an?k,an?2k,an?3k ,?为等比数列,公比为qk (2)和的性质:

S偶①Sm+n=Sn+qnSm;②若等比数列{an}共2k(k∈N*)项,则 =q. S奇③公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,______仍成等比数列,其公比为qn,当公比为-1时,Sn,S2n-Sn,______不一定构成等比数列.

(3)等比数列{an}的单调性:

?a1?0,①满足?或??a1?0,? {an}q?1?0?q?1时，是_____数列；

②满足?? {an}a1?0,或?a1?0,时，是_____数列；③当?? a1?0,时，{an}为___列；

?0?q?1??q?1?q?1数④当q<0时，{an}为摆动数列. (4)其他性质: T①{an}为等比数列,若a1·a2·?·an=Tn,则Tn, 2n②当数列{an}是各项都为正数的等比数列时,数列{lgan}T,T3n?成等比数列，; nT是公差为2nlgq的等差数列.

三、课前自主检测：

1.(思考)给出下列命题

①满足an?1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列; ②G为a,b的等比中项?G2=ab;

③如果{an}为等比数列,bn?a2n?1?a2n ,则数列{bn}也是等比数列; ④如果数列{an}为等比数列,则数列{lnan}是等差数列. 其中错误的命题是( )

A.①②③ B.②③④ C.①④ D.①②③④

2.等比数列{an}中,a3=12,a2+a4=30,则a10的值为 ( ) A.3×2?5 B.3×29 C.128 D.3×2?5或3×29

01-1

3.(2014·贵阳模拟)设Sn是等比数列{an}的前n项和,a3= , 29则公比q=( ) S3= ,

2111A. 1 B.- C.1或- D.1或

3

已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}中,b1=a1,bn=an?an?1 (n≥2)且an+Sn=n. (1)设cn?an?1,求证:{cn }是等比数列. (2)求数列{bn}的通项公式.

S54.设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则 =( ) S22222A.11 B.5 C.-8 D.-11

5.等比数列{an}中,a1=1,a10=3,则a2a3a4a5a6a7a8a9等于( )

A.81 B.27 527 C.3 D.2431变式训练.已知数列{an}中,a1= ,2点(n,2an?1-an)在直线y=x上,其中n=1,2,3?.

(1)令bn=an?1?an?1,求证数列{bn}是等比数列. (2)求数列{an}的通项.

6.数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an?1 =2Sn(n∈N*),则数列{an}的通项an= .

四、课堂自主导学

考点1 等比数列的基本运算

【典例1】(1)(2013·江西高考)等比数列x,3x+3,6x+6,?的第四项等于( ) A.-24 B.0 C.12 D.24

(2)(2013·新课标全国卷Ⅱ)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( )

A.1111 B.? C. D.?3399考点3 等比数列性质的应用

【典例3】(1)(2012·新课标全国卷)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=( )

A.7 B.5 C.-5 D.-7

(2)(2012·北京高考)已知{an}为等比数列,下面结论中正确的是( ) A.a1+a3≥2a2 B. a12?a32?2a22C.若a1=a3,则a1=a2 D.若a3>a1,则a4>a2

【变式训练】(2013·四川高考)在等比数列{an}中,a2-a1=2,且2a2为3a1和a3的等差中项,求数列{an}的首项、公比及前n项和

考点2 等比数列的判定与证明

(1)(2013·陕西高考)设{an}是公比为q的等比数列. ①推导{an}的前n项和公式.

②设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.

01-2

当堂检测

1.设{an}是等差数列,{bn}是等比数列,记{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn.若

S5?S3a5?a3?5，a3=b3,a4=b4,且 则 = . T4?T2b5?b32.(2014·湛江模拟)在等比数列{an}中,已知a2+a3=1,a4+a5=2, 则a8+a9等于( ) A.2 B.4 C.8 2 D.16

7.(2014·聊城模拟)已知在正项数列{an}中,a1=2,点An( )an,an?1在双曲线y2-x2=1

1上,数列{bn}中,点(bn,Tn)在直线y=- x+1上,其中Tn是数列{bn}的前n项和.

2(1)求数列{an}的通项公式. (2)求证:数列{bn}是等比数列. (3)若cn=an·bn,求证:cn?1

3.(2014·南昌模拟)在各项均为正数的等比数列{an}中,(a1+a3)(a5+a7)=4a42,则下列结论中正确的是( ) A.数列{an}是递增数列 B.数列{an}是递减数列 C.数列{an}是常数列

D.数列{an}有可能是递增数列也有可能是递减数列

4.(2014·昆明模拟)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于( ) A.80 B.30 C.26

D.16

5.(2012·安徽高考)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,则a5=( )

A.1 B.2 C.4 D.8

6.(2014·黄冈模拟)在等比数列{an}中,“8a2-a5=0”是“{an}为递增数列”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分又不必要条件 D.充要条件

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