2018-2019学年上海市交大附中高二（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）
2
1. 对于一元二次方程ax+bx+c=0（其中a，b，c∈R，a≠0）下列命题不正确的是（ ）
A. 两根 ， 满足 ， B. 两根 ， 满足
C. 若判别式 时，则方程有两个相异的实数根 D. 若判别式 时，则方程有两个相等的实数根
2. 已知两点A（1，2），B（4，-2）到直线l的距离分别为1，4，则满足条件的直线l共有（ ）
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 3. 如图．在四边形ABCD中．AB⊥BC，AD⊥DC，若| |=a，
|=b．则 =（ ） | A. B. C. D. ab
2
时，称 ABC为 4. 已知F为抛物线C：y=4x的集点，A，B，C为抛物线C上三点，当
“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 3个 D. 无数个 二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）
22
5. 若复数（m-5m+6）+（m-3m）i（m为实数，i为虚数单位）是纯虚数，则m=______． 6. 复数z=（2+i）（1-i），其中i为虚数单位，则z的虚部为______．
2
7. 抛物线x=12y的准线方程为______
， ，如果 =（1，-2）， ⊥ ，则实数λ=______． 8. 已知向量 ， ，
9. 若直线l1：ax+2y=0和l2：3x+（a+1）y+1=0平行，则实数a的值为______．
10. 设双曲线- =1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|=______．
18. （1）已知非零复数z满足|z+2|=2， ∈ ，求复数z．
（2）已知虚数z使 19. 已知椭圆
和 都是实数，求虚数z．
．
（1）M为直线 ： 上动点，N为椭圆上动点，求|MN|的最小值； （2）过点 ， ，作椭圆的弦AB，使 ，求弦AB所在的直线方程．
20. 圆 ： ，圆 ： ，动圆P与两圆M1、M2外切．
（1）动圆圆心P的轨迹C的方程；
（2）过点N（1，0）的直线与曲线C交于不同的两点N1，N2，求直线N1N2斜率的取值范围； （3）是否存在直线l：y=kx+m与轨迹C交于点A，B，使 ，且|AB|=2|OA|，若存在，求k，m的值；若不存在，说明理由．
2
21. 过抛物线y=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于M，N两点，且M，N两点的纵坐标之积为-4．
（1）求抛物线的方程；
的值（其中O为坐标原点）； （2）求
z=2x-3y的最小值是______． 11. 设x，y满足约束条件 ，则目标函数
12. 若复数z满足z?2i=|z|+1（其中i为虚数单位），则|z|=______．
1）4）13. 在直角坐标系xOy中，已知点A（0，和点B（-3，，若点C在∠AOB的平分线上且| 则 |=2， =______．
14.参数方程 （t为参数）化成普通方程为______；
2
15. 在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为 ， ， ， 、
b∈R）任取双曲线Γ上的点P，若 ， ， 分别是两条渐近线的方向向量． （a、
则a、b满足的一个等式是______． 16. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A在椭圆
上，点P满足 ∈ ，且
，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为______．
三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
2
17. 设 z+1为关于 x 的方程 x+mx+n=0，m，n∈R的虚根，i为虚数单位．
（1）当 z=-1+i 时，求 m、n 的值；
（2）若 n=1，在复平面上，设复数 z 所对应的点为 P，复数 2+4i 所对应的点为 Q，试求|PQ|的取值范
围．
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（3）已知点A（1，2），在抛物线上是否存在两点B、C，使得AB⊥BC？若存在，求出C点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明理由．
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答案和解析
1.【答案】B
【解析】
∴∵|∴
-|=a，|
?（+|=b，
）=-，
=b2-a2，
解：由根与系数之间的关系得对实系数二次方程，无论判别式 ≥0还是 ＜0，两根x1，x2满足
，
，故A正确，
故选：A．
利用向量的线性运算及向量的数量积公式，即可得到结论．
若两根x1，x2为虚根，则
不成立，故B错误，
本题考查向量在几何中的应用，考查向量的线性运算及向量的数量积公式，属于中档题． 4.【答案】D
【解析】
2
解：抛物线方程为y=4x，A、B、C为抛物线C三点，
2
判别式 =0时，方程有两个相等的实数根， =b-4ac＞0时，则方程有两个相异的实数根，故C，
D，正确， 故选：B．
根与一元二次方程根与判别式 的关系以及根与系数之间的关系分别进行判断即可． 本题主要考查命题的真假判断，根据一元二次方程根与判别式 以及根与系数之间的关系是解决本题的关键． 2.【答案】C
【解析】
当满足时时，F为 ABC的重心，
连接AF并延长至D，使FD=AF，
当D在抛物线内部时，存在以D为中点的弦BC，则这样的三角形有无数个．
故“和谐三角形”有无数个， 故选：D．
解：由点A（1，2），B（4，-2），易得|AB|=5，以点A为圆心，半径1为的圆， 与以点B为圆心，半径为4的圆外切，
根据满足
故满足条件的直线l即两个圆的公切线，显然，两个圆的公切线共有3条，
后结合构造以F为重心的三角形可以构造无数个得答案．
故选：C．
本题主要考查抛物线性质的应用，结合条件
由于以点A为圆心，半径1为的圆，与以点B为圆心，半径为4的圆相外切，满足条件的直线l
解决本题的关键．注意利用数形结合去求解判断．
即两个圆的公切线，故两个圆的公切线的条数即为所求．
本题考查了查直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系、直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 3.【答案】A
【解析】
时，得到F为 ABC的重心，然
时，得到F为 ABC的重心是
5.【答案】2
【解析】
22
解：∵复数（m-5m+6）+（m-3m）i（i为虚数单位）是纯虚数， 22
∴m-5m+6=0且m-3m≠0，解得m=2，
解：∵AD⊥DC，
?=0， ∴∴
?
=（
+
）?（
-）=
-?（
+
）=
-?（
+
），
故答案为：2．
直接根据复数z=a+bi（a∈R，b∈R）是纯虚数则a=0，b≠0，建立方程组，解之即可求出所求． 本题主要考查了纯虚数的概念，解题的关键根据z=a+bi是纯虚数可知a=0，b≠0，属于基础题． 6.【答案】-1
【解析】
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∵AB⊥BC， ?=0， ∴
解：z=（2+i）（1-i）=3-i． 则z的虚部为-1． 故答案为：-1．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 7.【答案】y=-3
【解析】
2
解：抛物线x=12y的准线方程为：y=-3．
解：根据题意，双曲线的方程为：其中a=
=3，
-=1，
则有||PF1|-|PF2||=6， 又由|PF1|=5，
解可得|PF2|=11或-1（舍） 故|PF2|=11， 故答案为：11．
根据题意，由双曲线的方程可得a的值，结合双曲线的定义可得||PF1|-|PF2||=6，解可得|PF2|的值，即可得答案．
本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的定义．
故答案为：y=-3．
直接利用跑完操方程求解准线方程即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查． 8.【答案】2
【解析】
11.【答案】-6
【解析】
解：∵∴=（0，-3），
=-3（-2+λ）=0，解得λ=2．
=（1+λ，-2+λ），， 解：由约束条件
，得可行域如图，
∴实数λ=2． 故答案为2．
使目标函数z=2x-3y取得最小值的最优解为A（3，4）， 3-3×4=-6． ∴目标函数z=2x-3y的最小值为z=2×
利用向量的线性运算及向量的垂直与数量积的关系即可求出．
故答案为：-6．
熟练掌握向量的线性运算及向量的垂直与数量积的关系是解题的关键． 9.【答案】-3或2
【解析】
由约束条件作出可行域，由z=2x-3y得最大，由此可知最优解，代入目标函数得答案．
，要使z最小，则在y轴上的截距
解：∵l1：ax+2y=0与l2：3x+（a+1）y+1=0平行 ∴
∴a=-3或2 故答案为：-3或2
根据两直线平行的条件，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，从而求得实数a的值． 本题主要考查两直线平行的性质，两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，属于基础题． 10.【答案】11
【解析】
本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，关键是找出最优解，是中档题． 12.【答案】1
【解析】
解：设z=a+bi，
2
∵复数z满足z?2i=|z|+1（其中i为虚数单位）， 22
∴（a+bi）?2i=a+b+1， 22
∴2ai-2b=a+b+1，
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