集合:
圆:圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;
圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹:
1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是:以定点为圆心,定长为半径的圆; 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是:线段的中垂线; 3、到角两边距离相等的点的轨迹是:角的平分线;
4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长
的两条直线;
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 点与圆的位置关系
点在圆内 d
A.2.5 B.2.5cm C.3cm D.4cm
CAAODB
2.如图,△ABC内接于⊙O,AB是直径,BC=4,AC=3,CD平分∠ACB,则弦AD
长为( ) A.
BC5252 B. C.2 D.3
2
直线与圆的位置关系
直线与圆相离 d>r 无交点
rd直线与圆相切 d=r 有一个交点
直线与圆相交 d 外离(图1) 无交点 d>R+r 外切(图2) 有一个交点 d=R+r 相交(图3) 有两个交点 R-r 内切(图4) 有一个交点 d=R-r 内含(图5) 无交点 d dR图1rRdr图2dR图3图4ddRrrRr图5 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论。 圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等 此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,只要知道其中的1个相等,则可 以推出其它的3个结论 圆周角定理:同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 圆周角定理的推论: 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧 推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径 推论3:三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 弦切角定理:弦切角等于所夹弧所对的圆周角 推论:如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等。 即:∵MN是切线,AB是弦 ∴∠BAM=∠BCA COB 圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。 即:在⊙O中,∵四边形ABCD是内接四边形 ∴∠C+∠BAD=180° B+∠D=180° ∠DAE=∠C CDNAMBAE 如图,四边形ABCD内接于⊙O,点P在CD的延长线上,且PA∥DB,求证:PD·BC=AB·AD BA O P D C 例 已知:如图,⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,经过A的直线与⊙O1交于点C,与⊙O2交于点D.过B的直线与⊙O1交于点E,与⊙O2交于点F.求证:CE∥DF 圆的内接三角形 经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心,这个三角形叫做圆的内接三角形.⊙O是△ABC的外接圆, △ABC是⊙O的内接三角形,点O是△ABC的外心,外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点。 1、概念:和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形. 2、类比: 名称 确定方法 图形 性质 (1)OA=OB=OC; 外心(三角形外三角形三边中接圆的圆心) 垂线的交点 (2)外心不一定在三角形的内部. (1)到三边的距离相等; 内心(三角形内三角形三条角切圆的圆心) 平分线的交点 (2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB; (3)内心在三角形内部. 切线的性质及判定定理: (1)判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线 两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可即:∵MN⊥OA且MN过半径OA外端∴MN是⊙O的切线 (2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图) 推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点 必过圆心 推论2:过切点垂直于切线的直线以上三个定理及推论也称二推一定理: 即:过圆过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件 O ∵MN是切线 ∴MN⊥OA MNA 切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即:∵PA、PB是的两条切线 B ∴PA=PB O PO平分∠BPA PA 圆内相交弦定理及其推论: (1)相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等 即:在⊙O中,∵弦AB、CD相交于点P BOPAD ∴PA·PB=PC·PA (2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 即:在⊙O中,∵直径AB⊥CD CCE2?DE2?EA?EBBOECAD (3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 即:在⊙O中,∵PA是切线,PB是割线 ∴ PA 2?PC?PB(4)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图) 即:在⊙O中,∵PB、PE是割线 ∴ PC ? PB PD ? PE ?ADPCOBE 圆公共弦定理:连心线垂直平分公共弦 即:∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点 AO1BO2 ∴O1O2垂直平分AB 两圆公切线长的计算公式: (1)公切线长:在Rt△O1O2C中, AB2?CO2?OO2?CO21122(2)外公切线长:CO2是半径之差; ABCO1O2 内公切线长:CO2是半径之和 圆内正多边形的计算 (1)正三角形 在⊙O中 △ABC是正三角形,有关计算在Rt△BOD中进行,OD:BD:OB= (2)正四边形 同理,四边形的有关计算在Rt△OAE中进行,OE :AE:OA= 1:1:2(3)正六边形 同理,六边形的有关计算在Rt△OAB中进行,AB:OB:OA= 1:3:2CBCOOOBDAAEDBA 弧长、扇形面积公式 (1)弧长公式: A l?n?R 180(2)扇形面积公式: S ?n?R2?12lROSl360B侧面展开图 (1)圆柱侧面展开图 S 表? S 侧 ? 2 S 底 = 2?rh?2?r2ADD1母线长底面圆周长BCC1 (2)圆锥侧面展开图 S 表 ? S 侧 ? S 底 = ?Rr??r2B1ORACrB 3:21:
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