线性代数期末复习题1

线代期末复习题

第一部分 选择题

一、单项选择题

1．设矩阵A???1 2??3 4??, B???1 2 3??1 4??4 5 6??, C???2 5?，则下列矩阵运算有意义的是 ???3 6??A.ACB B.ABC C.BAC D.CBA 2.设n阶方阵A满足A2

–E =0，其中E是n阶单位矩阵，则必有【 C 】

A.A=E B.A=-E C.A=A-1

D.det(A)=1 3.设A为3阶方阵，且行列式det(A)=

14 ,则det(-4A)= 【 C 】 A.-4 B.4 C.-16 D.16

4.设A为3阶方阵，且行列式det(A)=0，则在A的行向量组中【 C 】

A.必存在一个行向量为零向量

B.必存在两个行向量，其对应分量成比例 C.任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合 D.存在一个行向量，它是其它两个行向量的线性组合

5．设向量组a1,a2,a3线性无关，则下列向量组中线性无关的是【 A 】

A．a1?a2,a2?a3,a3?a1 B. a1,a2,a1?a3 C. a1,a2,2a1?3a2 D. a2,2a3,2a2?a3

6.向量组(I): a1,?,am(m?3)线性无关的充分必要条件是【 D 】

A.(1)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出 B.(1)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出 C.(1)中任意两个向量线性无关

D.存在不全为零的常数k1,?,km,使k1a1???kmam?0 7.设ai、bi均为零常数（i=1，2，3），且齐次线性方程组??a1x1?a2x2?a3x3?0?b1x1?b2x2?b3x3?0 B 】【

的基础解系含2个解向量，则必有 【 B 】 A.

a1 a2b1 b2?0 B.

a1 a2b1 b2?0 C. ai?bi(i?1,2,3) D.

a1a2a3?? b1b2b3?x1?x2?6x3?0?8.方程组? 4x2?8x3??4 有解的充分必要的条件是

? x?3x?2x??2a23?1A. a=2 B. a=-2 C. a=3 D. a=-3 9.下列矩阵中为正交矩阵的是 【 B 】

【 A 】

?1 0 0??2 -2 1?1????A. 0 1 1 B. 2 1 -2

???3????0 1 -1???1 2 2??C.

?1 -1?1?1 2? D. ????5?2 -1??0 1?10. 设P,Q为n阶可逆矩阵，n阶矩阵A的秩为r, 则 r(PAQ)=( )

(A) n (B.) r (C) 1 (D) 0

?114???11、设A?1x2且A 的特征值为0，1，2，则x=（ A ）。 ????001??(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

第二部分 非选择题

一、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。

1. 设A为正交矩阵,则|A|=___1或-1___.

?369???2. 已知A=?0x6?是奇异阵,则x=__0____.

?002???

00044000783. 11100?____-4__.

0110000100?1 2 3???4.矩阵A0 4 5的全部特征值为 1 4 -6 。 ????0 0 -6??

5.设矩阵A??

?1 2?T则行列式det(AA)的值为 1 . ??3 5?TTT6. 设向量组?1??1,t,1,2?,?2??0,1,1,3?,?3??1,1,0,?1?.问t=___2___时，该向量组的秩为2 .

1 -1 0 7．行列式 2 10 -2 的值为 14 .

3 4 0 8．若向量组a1?(1, 2, 3 ), a2?(4, t, 6), a3?( 0, 0, 1 )线性相关，则常数t= 8 . 9.向量组（1，2），（3，4）， （4，6）的秩为 3 . 10.齐次线性方程组?? x1?x2?x3?0 的基础解系所含解向量的个数为 无穷个

2x?x?3x?023?1TT 11.已知x1?(1, 0, 2)、x2?(3, 4, 5)是3元非齐次线性方程组Ax?b的两个解向量，则对应齐次线性方程Ax?0有一个非零解?= .

二、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）

0 3 4 51．计算行列式

-3 4 1 0 0 2 2 -2的值。

?1??1 2.设A=?0??0? 6 -2 7 2?200??100??1,求A.(6分) ?052?021???120???010?? 3. 设矩阵A=?001?，已知??4AX=A+2X，试求矩阵X .

*-14. 已知，线性空间R的两个基

?(1,2,?1,0)，?2?(1,?1,1,1)，?3?(?1,2,1,1)，

?4?(?1,?1,0,1)

（II）?1?(2,1,0,1)，?2?(0,1,2,2)，?3?(?2,1,1,2)， ?4?(1,3,1,2) （I）?1求由基（I）改变为基（II）的过渡矩阵.

? 1 -4 -3??A?? 1 -5 -3????-1 6 4??5．设求A。

-1

? x1?2x2?x3?x4?0? 3x1?6x2?x3?7x4?0的基础解系与通解。 6．求方程组??2x?4x?2x?2x?0234?1?x1?x2?2x3?3x4?0?2x?x?6x?4x??112347.已知线性方程组? ??3x1?2x2?px3?7x4??1??x1?x2?6x3?x4?t,讨论参数p,t取何值时,方程组

有解,无解,当有解时,试用其基础解系表示通解.

8.设向量组:?1?(?1,?1,0,0)T,?2?(1,2,1,?1)T,?3?(0,1,1,?1,)T,?4?(1,3,2,1)T,

?5?(2,6,4,?1)T,试求向量组的秩及其一个极大线性无关组,并将其余向量用这个极大线性无关组线性表示.

? 3 -6 -3?? 3 -6 -39.矩阵A??????-4 8 4??能否相似于对角矩阵?若能对角化,求一个可逆矩阵P及对角矩阵D,使

得PAP=D 10.设向量组a1,a2,a3线性无关。试证明：向量组?1?a1?a2?a3,?2?a1?a2,?3?a3线性无关。

11.设实对称矩阵A和B是相似矩阵,证明存在正交矩阵T,使得T?1AT?B. 12.若A是实对称矩阵，Q是正交矩阵，则Q?1AQ也是实对称矩阵. -113.设?1和?2是A的两个不同的特征值, 对应的特征向量为p1和p2, 明p1?p2不是A的特征向量

14.设矩阵??1?2?4?A???2x?2?与?5?B?????y??相似，求x,y

??4?21?????4??x?aa?a15.

ax?a?a????

aa?x?a

证