又易知底面ABCD的一个法向量为n??0,0,1?， 由于二面角M?AB?D的余弦值为
?21， 7∴cosm?n???m?n??mn???1?3??3?2??121， 7∴9?2?18??5?0，解得??15或??（舍去）， 33??123??223?M,1,BM??,1,∴?，∴????3???， 333????sinBM?n?则
??BM?n?????2233?23??2??????1??3?3???23. 52?BMn235，
∴直线BM与底面ABCD所成角的正弦值为【点睛】
本题考查线面平行的判定定理和利用空间向量法求空间角的问题，考查空间思维和计算能力.
19．一家商场销售一种商品，该商品一天的需求量在x10?x?29,x?N范围内等可能取值，该商品的进货量也在x10?n?29,n?N范围内取值（每天进货1次）.这家商场每销售一件该商品可获利60元；若供不应求，可从其他商店调拨，销售一件该商品可获利40元；若供大于求，剩余的每处理一件该商品亏损20元.设该商品每天的需求量为x，每天的进货量为n件，该商场销售该商品的日利润为y元. （1）写出这家商场销售该商品的日利润为y关于需求量x的函数表达式； （2）写出供大于求，销售n件商品时，日利润y的分布列；
（3）当进货量n多大时，该商场销售该商品的日利润的期望值最大？并求出日利润的期望值的最大值. 【答案】（1）y???????40x?20n,n?x?29,x?N；（2）分布列见解析；（3）n?16或
80x?20n,10?x?n,x?N?n?17，E?y??962
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【解析】（1）根据题意，该商品每天的需求量为x，进货量为n，分段求出n?x?30和10?x?n时，利润为y关于需求量x的函数表达式；
1，即可求出日利润为y的分布列； 20（3）分别求出日利润，得出y的分布列，即可求出日利润y的数学期望
（2）当供大于应求时，每种情况的概率都为
E?y???n2?33n?690，根据二次函数的性质，可知n?16或n?17是日利润的期
望值最大，即可求出期望值的最大值. 【详解】
解：（1）因为该商品每天的需求量为x，进货量为n，
该量贩销售该商品的日利润为y关于需求量x的函数表达式为：
??60n?40?x?n?,n?x?30,x?Ny??，
60x?20n?x,10?x?n,x?N?????40x?20n,n?x?29,x?N化简得：y??，
80x?20n,10?x?n,x?N?（2）供大于应求时，日利润为y的分布列： y 80?10?20n 80?11?20n 1 20??? 80??n?2??20n 1 2080??n?1??20n 1. 20p
1 20 ???. （3）日利润为y的分布列：
y 80?10?20n 40n40?2040?2980??n?1?40?n?1?80?11 ??? ??? ?20n?20n?20n?20n?20n?20n p
1 201 20??? 1 20 1 201 20 ??? 1 201 20y的数学期望为：
E?y??1??80?10?20n???80?11?20n???????80??n?1??20n? 20??第 18 页 共 24 页
1??40n?20n???40?n?1??20n?????????40?28?20n???40?29?20n? 201??80??10?11??????n?1???n?20n ??201??40??n??n?1??????28?29????30?n?20n 20????????n2?33n?690，
当n?16.5数学期望值最大，
但n为自然数，经验证n?16或n?17，E?y??962. 【点睛】
本题考查函数在实际生活中的应用，以及分布列和数学期望，考查分析解决和计算能力. 20．已知函数f?x??lnx?12ax?x,a?R. 2（1）令g?x??f?x???ax?1?，求函数g?x?的单调区间；
（2）若a??2，正实数x1,x2满足f?x1??f?x2??x1x2?0，证明：x1?x2?5?1. 2【答案】（1）当a?0时，函数g?x?的递增区间是?0,???，无递减区间；当a?0时，函数g?x?的递增区间是?0,
?
?1??1?,??，递减区间是（2）证明见解析 ???；
a?a??12?ax2??1?a?x?1【解析】（1）化简g?x??lnx?ax?x?ax?1，g??x??，对a2x分成a?0和a?0两类讨论g?x?的单调区间；
（2）当a??2时，f?x??lnx?x?x,x?0，f?x1??f?x2??x1x2?0转化为
2?x1?x2???x1?x2??x1x2?lnx1x2，令t?x1x2,??t??t?lnt，利用导数求得
2?x1?x2???x1?x2??1，又x1?x2?0，故x1?x2?x1?x2?0.
【详解】
（1）g?x??f?x???ax?1??lnx?所以g??x??25?1，由x1?0,x2?0可知212ax?x?ax?1， 2?ax2??1?a?x?1x，
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当a?0时，因为x?0，所以g?x??0，即g?x?在?0,???单调递增，
1???a?x???x?1?1?gx?0x?当a?0时，，令，得， ??a??g??x??ax?1?x?所以当?0,?时，g??x??0，g?x?单调递增，
?a?当x???1?,???时，g??x??0,g?x?单调递减， ?a?综上，当a?0时，函数单调递增区间为?0,???，无递减区间；
?1??1?0,当a?0时，函数单调递增区间为??，单调递减区间为?,???； ?a??a?（2）当a??2时，f?x??lnx?x?x,x?0，
222由f?x1??f?x2??x1x2?0可得lnx1x2?x1?x1?x2?x2?0，
即?x1?x2???x1?x2??x1x2?lnx1x2， 令t?x1x2,??t??t?lnt，则???t??1??21tt?1， t则??t?在区间?0,1?上单调递减，在区间?1,???上单调递增， 所以??t????1??1，所以?x1?x2???x1?x2??1，
2又x1?x2?0，故x1?x2?5?1， 2由x1?0,x2?0可知x1?x2?0． 【点晴】
解答此类求单调区间问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错. 解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：（1）利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．（2）将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．
?2?x2y21,21．已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)，F1、F2为椭圆的左、右焦点，P?为???ab?2?椭圆上一点，且|PF1|?32. 2第 20 页 共 24 页
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