计算题题型专练(四) 带电粒子在电场磁场中的运动
1．空间存在方向竖直向上的匀强电场，水平地面上有一根细短管，与水平面之间的夹角为37°，如图所示，一略小于细短管直径、质量为m、电荷量为q的带正电小球，从水平地面上方一定高度处水平抛出，经时间t小球恰好无碰撞地落入细短管。已知细短管到抛出点的水平距离为d，重力加速度大小为g，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，空气阻力不计，求：
(1)小球抛出点与落地点间的高度差h； (2)细短管所在位置与小球抛出点间的电压U。
解析 (1)小球抛出时的速度大小为：vd0＝t
设小球下落的加速度大小为a，有：h＝12
2
at
又：tan 37°＝atv 0
解得：h＝3d8
。
(2)小球落入细短管时的速度大小为：v＝v05dcos 37°＝4t 对小球在空中运动的过程，由动能定理有：
mgh－qU＝1mv2－122
mv20
解得：U＝m?3gd2
q?
?8－9d32t2???
。 1
3dm?3gd9d?答案 (1) (2)?－2?
8q?832t?
2．如图所示，在纸面内有一个边长为L的等边三角形abc区域，一质量为m，电量为q的带正电的粒子从a点以速度v0沿平行于纸面且垂直于bc边的方向进入此区域。若在该区域内只存在垂直于纸面的匀强磁场，粒子恰能从c点离开；若该区域内只存在平行于bc边2
的匀强电场，该粒子恰好从b点离开(不计粒子重力)。求：
(1)电场强度与磁感应强度大小之比：
(2)带电粒子在匀强电场和匀强磁场中运动的时间之比。 解析 (1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，由几何关系可知：r＝L
B＝mv2洛伦兹力充当向心力：qv0
0r
解得B＝
mv0
qL 粒子在电场中运动：L2＝1qE2mt2
3L2
＝v0t 2
解得E＝4mv0E4v0
3qL，故B＝3
2
(2)带电粒子在电场中运动的时间为t1＝πL 3v0
3L2v0
在磁场中运动的时间为t2＝
t133
时间之比为＝。
t22π
4v033
答案 (1) (2)
32π
3．真空中有如图所示矩形区域，该区域总高度为2l0、总宽度为6l0，其中上半部分有磁感应强度为B、垂直纸面向里的水平匀强磁场，下半部分有竖直向下的匀强电场，x轴恰为水平分界线，正中心恰为坐标原点O。在x＝4l0处有一与x轴垂直的足够大的光屏(图中未画出)。质量为m、电荷量的绝对值为q的带负电粒子源源不断地从下边界的坐标值为(－
l0，－l0)的P点由静止开始经过匀强电场加速，通过x轴后进入匀强磁场中。粒子间的相互
作用和粒子重力均不计。
(1)若粒子在磁场中恰好不从上边界射出，求加速电场的场强E1；
(2)若将光屏向x轴正方向平移，粒子打在屏上的位置始终不改变，则加速电场的场强
E′多大？
12
解析 (1)带电粒子在电场中加速，根据动能定理有qEl0＝mv
2
3
v2
进入匀强磁场后做匀速圆周运动有qvB＝m
r要求粒子在磁场中恰好不从上边界射出，则：r＝l0
qB2l0
解得E＝
2m(2)由“将光屏向x轴正方向平移，粒子打在屏上的位置始终不改变”，知离开磁场时粒子速度方向必平行于x轴，沿＋x方向。
故：进入匀强磁场后做匀速圆周运动的半径为：
4l0
(n＝1,2,3,4……) 2n＋3
r′＝v′2
又qv′B＝m r′
12
带电粒子在电场中加速，根据动能定理有qE′l0＝mv′
28qBl0
解得E′＝2(n＝1,2,3,4……)。
(2n＋3)m2
qB2l08qBl0
答案 (1)E＝ (2)E′＝2(n＝1,2,3,4……)
2m(2n＋3)m2
4．如图所示，足够大的光滑绝缘水平桌面置于平行桌面的匀强电场和垂直桌面的匀强磁场中，在桌面内建立xOy坐标系。桌面上质量m＝2×10 kg、电荷量q＝1×10 C的带正电小球从坐标原点O平行桌面以v0＝1 m/s的速度射入电磁场区域，在电场和磁场作用下发生偏转，小球到达点M(30 cm,40 cm)时，动能变为O点动能的0.5倍，速度方向垂直OM，此时撤掉磁场，一段时间后小球经过点N(62.5 cm,0)，动能变为O点动能的0.625倍。设O
4
－2
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