§5 夹角的计算
第一课时 直线间的夹角、平面间的夹角
[对应学生用书P34]
山体滑坡是一种常见的自然灾害．甲、乙两名科学人员为了测量一个山体的倾斜程度，甲站在水平地面上的A处，乙站在山坡斜面上的B处，从A，B两点到直线l(水平地面与山坡的交线)的距离AC和
BD分别为30 m和40 m，CD的长为60 m，AB的长为80 m.
uuuruuur问题1：直线AC和BD的夹角范围是什么？向量AC与向量BD的夹角范围是什么？ ?π?提示：?0，?，[0，π]．
2??
uuuruuur问题2：直线AC与BD的夹角与〈AC，BD〉有什么关系？
uuuruuurπ
提示：当0≤〈AC，BD〉≤时，它们相等；
2
uuuruuuuuuruuurrπ
当<〈AC，BD〉≤π时，直线AC与BD的夹角为π－〈AC，BD〉． 2
uuuruuur问题3：上图中水平地面与斜坡面的夹角α与〈CA，DB〉有什么关系？为什么？
uuuruuur提示：α＝π－〈CA，DB〉，因为图中两平面夹角(即为直线BD与CA的夹角)为锐
uuuruuuuuuruuurr角，而〈CA，DB〉为钝角，所以α＝π－〈CA，DB〉．
问题4：若n1，n2分别为两个平面π1，π2的法向量，则π1与π2的夹角θ与〈n1，
n2〉有什么关系？
π
提示：当0≤〈n1，n2〉≤时，θ＝〈n1，n2〉；
2π
当<〈n1，n2〉≤π时，θ＝π－〈n1，n2〉． 2
1．两直线的夹角
?π?当两条直线l1与l2共面时，把两条直线交角中，范围在?0，?内的角叫做两直线的夹
2??
角．
2．异面直线l1与l2的夹角
(1)定义：直线l1与l2是异面直线，在直线l1上任取一点A作AB∥l2，则直线l1和直线AB的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角．
(2)计算：设直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2.
π
当0≤〈s1，s2〉≤时，直线l1与l2的夹角等于〈s1，s2〉；
2π
当<〈s1，s2〉≤π时，直线l1与l2的夹角等于π－〈s1，s2〉． 23．平面间的夹角
(1)定义：平面π1与π2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R，在平面π1
上作直线l1⊥l，在平面π2上作直线l2⊥l，则直线l1和l2的夹角叫作平面π1与π2的夹角．
(2)计算：已知平面π1和π2的法向量分别为n1和n2， π
当0≤〈n1，n2〉≤时，平面π1和π2的夹角等于〈n1，n2〉；
2π
当<〈n1，n2〉≤π时，平面π1和π2的夹角等于π－〈n1，n2〉． 2
1．求空间角时，要注意角的范围．
?π?(1)异面直线夹角范围是?0，?；
2???π?(2)两平面夹角范围是?0，?. 2??
2．求两异面直线的夹角、两平面夹角时可用定义求解；也可用直线的方向向量、平面的法向量的夹角进行求解，但要注意其转化关系．
[对应学生用书P35]
求异面直线的夹角
[例1] 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，且PA⊥底面ABCD，∠PDA＝30°，AE⊥PD，E为垂足．
(1)求证：BE⊥PD；
(2)求异面直线AE与CD夹角的余弦值．
[思路点拨] 要证明两直线垂直，或求两直线的夹角，只要适当地建立空间直角坐标系，求出两直线对应的方向向量，然后借助于这两个向量的数量积公式即可求得．
[精解详析] 以A为原点，AB，AD，AP所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图，则A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，a,0)，D(0,2a,0)．
又∵∠PDA＝30°， ∴AP＝AD·tan 30°＝2a·
1
2
323＝a， 33
AE＝AD·sin 30°＝2a·＝a.
a3
过E作EF⊥AD，垂足为F，在Rt△AFE中，AE＝a，∠EAF＝60°，∴AF＝，EF＝a.
22
23?3???1
∴P?0，0，a?，E?0，a，a?.
3?2???2
uuur?13?
(1)证明：BE＝?－a，a，a?，
22??
uuur?23?PD＝?0，2a，－a?，
3??
uuuruuur22
∴BE·PD＝0＋a－a＝0. uuuruuur∴BE⊥PD，∴BE⊥PD.
ruuur?13?uuu(2)AE＝?0，a，a?，CD＝(－a，a,0)．
2??2
12
ruuuruuuaruuuruuu2AE·CD2r＝ruuu则cos〈AE，CD〉＝uuu＝，
2a·a4| AE||CD|即AE与CD的夹角的余弦值为[一点通]
1．求两异面直线的夹角时，可用向量法转化为求两异面直线的方向向量a，b的夹角〈a，
2
. 4
b〉．但两异面直线的夹角范围是?0，?，所以当〈a，b〉∈?，π?时，两异面直线的夹
22
??
π?
?
?π?
??
角应为π－〈a，b〉．
2．合理建立空间直角坐标系，可使两异面直线的夹角问题转化为向量的坐标运算，也可选用基向量法进行求解．
1．把正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，点E，F分别是AD，BC的中点，O是正方形ABCD的中心，则折起后，∠EOF的大小为( )
A．60° C．120°
B．90° D．150°
解析：如图，建立空间直角坐标系，设正方形边长为2.
2??22??2
，，0?，E?0，－，?， 222??2??
uuur?2r?2?uuu22?∴OF＝?，，0?，OE＝?0，－，?，
222??2??uuuruuur∴cos∠EOF＝cos〈OF，OE〉 则F?0×＝
2222－×＋0×222211＋× 22
11＋22
1＝－，
2
∴∠EOF＝120°. 答案：C
2．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线BA1与AC的夹角．
解：法一：以A点为坐标原点，建立直角坐标系如右图所示，设
B(1,0,0)，则C(1,1,0)，A1(0,0,1)，
uuuruuur∴AC＝(1,1,0)，BA1＝(－1,0,1)，
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