又OA1是AC的中垂线，
∴A1A＝A1C＝2，且AC＝2，∴AC＝AA1＋A1C， ∴△AA1C是直角三角形，∴AA1⊥A1C. 又BB1∥AA1，
∴A1C⊥BB1.又BB1∩BD＝B， ∴A1C⊥平面BB1D1D.
(2)设平面OCB1的法向量n＝(x，y，z)．
2
2
2
uuuruuur∵OC＝(－1,0,0)，OB1＝(－1,1,1)，
uuur??n·OC＝－x＝0，
uuur∴???n·OB1＝－x＋y＋z＝0，
取n＝(0,1，－1)，
??x＝0，
∴?
?y＝－z.?
uuuur由(1)知，A1C＝(－1,0，－1)是平面BB1D1D的法向量， uuuur∴cos θ＝|cos〈n，A1C〉|＝
ππ
又0≤θ≤，∴θ＝.
23
用向量法求两异面直线的夹角θ及两平面的夹角φ时，要注意两异面直线的夹角、两平面夹角与直线的方向向量a，b的夹角及两平面的法向量n1，n2的夹角的关系：
(1)当cos〈a，b〉<0时，cos θ＝－cos〈a，b〉，
当cos〈a，b〉≥0时，cos θ＝cos〈a，b〉，即cos θ＝|cos〈a，b〉|. (2)当cos〈n1，n2〉≥0时，cos φ＝cos〈n1，n2〉，
当cos〈n1，n2〉<0时，cos φ＝－cos〈n1，n2〉，即cos φ＝|cos〈a，b〉|.
[对应课时跟踪训练十一]
1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则异面直线EF和CD的夹角是( )
A．60°
B．45° 1
＝. 2×221
C．30° D．90°
解析：以D为原点，分别以射线DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴的非负半轴建立空间11?11???，，1，0，直角坐标系(图略)．设正方体的棱长为1，则E??，F??，
2??22??2
ruuur?11?uuuEF＝?0，－，－?，DC＝(0,1,0)．
22??
ruuuruuuruuuruuuEF·DC2
uuur＝－， r所以cos〈EF，DC〉＝uuu2| EF|·|DC|ruuuruuu所以〈EF，DC〉＝135°，
所以异面直线EF和CD的夹角是45°. 答案：B
2.(陕西高考)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－
A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )
A.5
525
5
B.5 3
C.
3D. 5
解析：设CA＝2，则C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，
uuuurC1(0,2,0)，B1＝(0,2,1)，可得向量AB1＝(－2,2,1)， uuuuruuuuruuuurBC1＝(0,2，－1)，由向量的夹角公式得cos〈AB1，BC1〉＝
－2×0＋2×2＋1×－1
0＋4＋1·4＋4＋1答案：A
3．如图所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，
＝15＝. 55
PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则平面CBF与平面DBF夹角的正切值为( )
A.C.3 63 3
B.D.3 423
3
解析：设AC∩BD＝O，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分
别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝3，
∴B?
1??3??
，0，0?，F?0，0，2?，
??2??
?0，?
3??
C?1?，D?－，0，0?. ?，0??2??2?uuur?1?uuur∴OC＝?0，，0?，且OC为平面BDF的一个法向量．
?2?uuur?r?331?uuu1?
由BC＝?－，，0?，FB＝?，0，－?可得平面BCF的一个法向量n＝(1，3，
2??22??2
3)．
uuuruuur2127
∴cos〈n，OC〉＝，sin〈n，OC〉＝.
7
7
uuur23∴tan〈n，OC〉＝.
3
答案：D
4．P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在α，β平面内引射线PM，PN，如果∠
BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么α与β的夹角大小为( )
A．60° C．80°
B．70° D．90°
解析：设PM＝a，PN＝b，作ME⊥AB，NF⊥AB，则因∠BPM＝∠BPN＝45°，故PE＝
a2
，PF＝
b2
uuuuruuuruuur .于是EM·FN＝(PM－uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurPE)·(PN－PF)＝PM·PN－PM·PF－PE·PNuuuruuurbaabababab＋PE·PF＝abcos 60°－a·cos 45°－·bcos 45°＋·＝－－＋
2
2
2
2
2
2
2
ab2
uuuuruuur＝0.因为EM，FN分别是α，β内的与棱AB垂直的两条直线，所以EM与FN的夹角就是α与β的夹角．
答案：D
5．平面π1的一个法向量n1＝(1,2，－1)，平面π2的一个法向量n2＝(2，－2，－2)，则平面π1与π2夹角的正弦值为________．
π
解析：n1·n2＝2－4＋2＝0，∴n1⊥n2，∴〈n1，n2〉＝，即α与β垂直，
2∴sin〈n1，n2〉＝1. 答案：1
6．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．
r1uuuruuuuruuuuuuuruuuuruuuur解析：不妨设棱长为2，则AB1＝BB1－BA，BM＝BC＋BB1，
2uruuuuruuucos〈AB1，BM〉＝＝
0－2＋2＋0
＝0.
22·5
ruuuuruuuBB1－BA·
uuur1uuuurBC＋ BB12
22·5
故AB1与BM的夹角为90°. 答案：90°
7．如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE与平面ABCD所成角为60°.求平面BEF与平面BDE的夹角的余弦值．
解：因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系，如图所示．
因为BE与平面ABCD所成角为60°，即∠DBE＝60°，所以＝3. 由AD＝3可知DE＝36，AF＝6，
则A(3,0,0)，F(3,0，6)，E(0,0,36)，B(3,3,0)，C(0,3,0)．
EDDBuuuruuur所以BF＝(0，－3，6)，EF＝(3,0，－26)．设平面BEF的法向量为n＝(x，y，
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